कुछ बहुपद की अनियमितता

Dec 27 2020

लश्कर $n \geq 2$ और हम तर्कसंगत काम करते हैं।

प्रश्न 0: क्या फार्म के बहुपद के irreducibles में एक कारक है $p_{n,i}(x)=x^n+x^i+1$ पता है, जहां $0<i<n$?

प्रश्न 1: क्या यह सच है कि $n$ ऐसा सब $p_{n,i}(x)$ अनुक्रम द्वारा दिया जाता है https://oeis.org/A038754? यह सच है$n \leq 55$

प्रश्न 2: मामले में $p_{n,i}(x)$ क्या यह अप्रासंगिक है, इसका गैलोज़ समूह क्या है?

जवाब

1 GerryMyerson Jan 01 2021 at 18:46

प्रश्न 1 के बारे में:

लश्कर $n=3^rps$, कहां है $p$ एक प्रमुख है, $p\ge5$, तथा $s$ एक से अधिक नहीं है $3$। लश्कर$m=3^rt$ कहां है $ps>t>0$ तथा $ps+t$ का एक बहु है $3$। लश्कर$\zeta=e^{2\pi i/3^{r+1}}$। फिर$\zeta^n+\zeta^m+1$ एकता के तीन घन जड़ों का योग है, इसलिए यह शून्य है, इसलिए $x^n+x^m+1$ के लिए न्यूनतम बहुपद द्वारा विभाज्य है $\zeta$। उस बहुपद में डिग्री है$2\times3^r$, जो इससे कम है $n$, तोह फिर $x^n+x^m+1$ reducible है।

अब छोडो $n=4t$ कुछ के लिए $t$। फिर$$x^n+x^{n/2}+1=x^{4t}+x^{2t}+1=(x^{2t}+x^t+1)(x^{2t}-x^t+1)$$ तोह फिर $x^n+x^{n/2}+1$ reducible है।

यह केवल छोड़ देता है $n$ फार्म का $3^r$ तथा $2\times3^r$विचार करने के लिए। मान लीजिए$n$ इन रूपों में से एक है, और विचार करें $x^n+x^m+1$, $0<m<n$। इस बिंदु पर, हमें mathoverflow.net/questions/56579/about-irreducible-trinomials पर उद्धृत पत्रों के बड़े परिणाम लाने होंगे । ऐसा कहता है$x^n+x^m+1$अधिकांश एक गैर-साइक्लोटोमिक कारक है, जहां साइक्लोटोमिक कारक से मेरा मतलब है कि एक बहुपद जिसका शून्य सभी एकता की जड़ों में हैं। अर्थात्,$x^n+x^m+1$ या तो $P(x)$ या $Q(x)$ या $P(x)Q(x)$, कहां है $P(x)$ एक चक्रवाती कारक है, और $Q(x)$एक अप्रासंगिक गैर-चक्रवाती कारक है। अगर यह है$Q(x)$, फिर हम कर रहे हैं - हमने साबित कर दिया है कि यह अप्रासंगिक है, जैसा कि अनुरोध किया गया है। इसलिए, हम मानते हैं कि इसका एक साइक्लोटोमिक कारक है$P(x)$, जिसकी जड़ है $\zeta$, जो एकता की जड़ है। फिर$\zeta^n+\zeta^m+1=0$, एकता की तीन जड़ों का एक लुप्त योग, जो केवल एकता के तीन घन जड़ों का योग हो सकता है। इससे मैं यह निष्कर्ष निकालना चाहता हूं कि हमारे पास होना चाहिए$n=2\times3^r$, $m=3^r$, तथा $x^n+x^m+1$ के लिए न्यूनतम बहुपद है $\zeta$, इसलिए, अप्रासंगिक, और हम कर रहे हैं, लेकिन मैं इसे अभी नहीं देख रहा हूं। मैं एक या दो दिन में इसे खत्म करने के लिए वापस आने की कोशिश करूंगा।