क्वांटम एकात्मक परिवर्तन

Question

क्वांटम यांत्रिकी में, हम जानते हैं $\dot{\psi}=-\frac{i}{\hbar}H\psi$,

लेकिन क्यों है $U\dot{\psi}=-\frac{i}{\hbar} \left(UHU^\dagger \right) U\psi$?

क्या इसका मतलब यह कि $UHU^\dagger = H$? मुझे लगता है$UU^\dagger H = H$, लेकिन हम यहां मैट्रिस के क्रम को क्यों बदल सकते हैं?

Answer 1

आप यह मानते हुए आगे निकल रहे हैं $U$ एकात्मक है:

$$ U\dot\psi= -\frac{i}{\hbar} UH\psi=-\frac{i}{\hbar} UH\mathbb 1\psi= -\frac{i}{\hbar} UHU^\dagger U\psi.$$

$U$ समय विकास ऑपरेटर होने की जरूरत नहीं है और इसके साथ आवागमन की आवश्यकता नहीं है $H$इस काम के लिए, यह किसी भी एकात्मक हो सकता है। यह सिर्फ यह कह रहा है कि अगर आप लिखते हैं$\psi$दूसरे आधार में यह नए आधार में लिखे गए हैमिल्टन के साथ विकसित होता है। (या समकक्ष रूप से एक घुमाया हुआ सदिश घुमाए गए हैमिल्टन के साथ विकसित होता है)।

Answer 2

1. अगर हैमिल्टन $\hat{H}$ समय पर निर्भर नहीं करता है, और $U$ समय-विकास ऑपरेटर माना जाता है, तब $$\hat{U}~=~\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}\Delta t\right),\tag{A}$$ जो हंगामा करता है$^1$ साथ में $\hat{H}$, ताकि $$UHU^{\dagger} ~=~ H,\tag{B}$$सीएफ ओपी का सवाल।

2. अगर हैमिल्टन $\hat{H}$समय पर निर्भर करते हैं, तो eqs। (ए) और (बी) को संशोधित करने की आवश्यकता है, सीएफ। जैसे यह Phys.SE पोस्ट।

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$^1$ एक समारोह $f(\hat{H})$ का $\hat{H}$ के साथ आवागमन करता है $\hat{H}$, cf. जैसे यह और यह Phys.SE पोस्ट।

Answer 3

user2723984 सही है। हालाँकि, आपके प्रश्न का दूसरा भाग अनसुलझा है: यदि हैमिल्टन अलग-अलग समय पर खुद के साथ काम करता है, तो एकमात्र ऑपरेटर$U$ है $H$ और जैसे $H$ खुद के साथ शुरू होता है, ऑपरेटरों का क्रम तब बदला जा सकता है।