क्या आप पॉलि-एक्स की असीम रूप से कई वर्गमूल ले सकते हैं?
मैं Lemma 7.5 में बारेंको के कार्य पर प्रस्तुत आवर्तक सर्किट के आधार पर एन-बिट टोफोली गेट के लिए लागत खोजने की कोशिश कर रहा हूं ( क्वांटम गणना के लिए प्राथमिक द्वार )
निर्माण के लिए आवश्यक है कि हम पुनरावृत्ति करके पॉली एक्स के वर्गमूल को लें। मैं सोच रहा था कि क्या कोई प्रमाण है कि हम हमेशा पॉली एक्स के वर्गमूल को अधिक से अधिक बार ले सकते हैं?
जवाब
एकात्मक मेट्रिसेस को किसी भी शक्ति के लिए उठाया जा सकता है, जिसमें भिन्नात्मक शक्तियां शामिल हैं, इसलिए कोई भी रूट जिसे आप चाहते हैं, पा सकते हैं। आप मैट्रिक्स को eigendecomposing करके रूट को खोजते हैं, eigenvalues को संशोधित करते हैं (उन्हें वांछित शक्ति में बढ़ाते हैं), फिर मैट्रिक्स को एक साथ डालते हैं।
पाउली एक्स मैट्रिक्स के मामले में, आइजनवेक्टर हैं $|+\rangle\langle +|$ तथा $|-\rangle\langle -|$ तो आप इस तरह जड़ें पा सकते हैं:
$$X^s = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 &1\end{bmatrix} + \frac{e^{i \pi s}}{2}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1\end{bmatrix}$$
एक बार जब यह किया जाता है तो वास्तविक चुनौती का एहसास होता है $X^s$आपके कंप्यूटर पर आपके द्वारा उपलब्ध गेट सेट का उपयोग करने वाले फाटक। उदाहरण के लिए, यदि आप क्लिफोर्ड + टी गेट सेट का उपयोग कर रहे हैं तो आप एच और टी गेट्स की एक श्रृंखला का उपयोग करके रोटेशन को अनुमानित कर सकते हैं ।
ध्यान दें कि कई-नियंत्रित नहीं करने के लिए, आपके द्वारा लिंक किए गए की तुलना में अधिक कुशल ancilla-free निर्माण हैं: https://algassert.com/circuits/2015/06/22/Using-Quantum-Gates-instead-of-Ancilla-Bits.html