क्या असंगत सिस्टम गणितीय रूप से दिलचस्प / उपयोगी हो सकते हैं?
इस प्रश्न के शीर्ष उत्तर के अनुसार :
गणित करते हुए हमें अक्सर एक ऐसी वस्तु का आभास होता है जिसे हम औपचारिक रूप से प्रस्तुत करना चाहते हैं, यह एक धारणा है । हम इस धारणा का वर्णन करने के लिए स्वयंसिद्ध लिखते हैं और यह देखने की कोशिश करते हैं कि क्या ये स्वयंसिद्ध आत्म-विरोधाभासी हैं। यदि वे नहीं हैं (या यदि हम यह साबित नहीं कर सके कि वे हैं) तो हम उनके साथ काम करना शुरू करते हैं और वे एक परिभाषा बन जाते हैं । गणितज्ञ धारणा द्वारा निर्देशित होते हैं लेकिन वे परिभाषा के साथ काम करते हैं। शायद ही कभी धारणा और परिभाषा मेल खाती है, और आपके पास एक गणितीय वस्तु है जो वास्तव में हमारे [गणितज्ञ] अंतर्ज्ञान हमें बताता है कि यह होना चाहिए।
हमारे गणितीय अंतर्ज्ञानों को औपचारिक रूप देना एक मुश्किल व्यवसाय लगता है, खासकर जब से हमारे अंतर्ज्ञान अक्सर स्वयं विरोधाभासी होते हैं, जिससे सभी प्रकार के गूढ़ विरोधाभास होते हैं। साथ ही, गोडेल पता चला है कि यह एक तरीका है कि दोनों सुसंगत और पूरा हो गया है में नहीं किया जा सकता, इसलिए जब हम करते हैं एक गैर विरोधाभासी औपचारिक मिल जाए, हम पूर्णता बलिदान करने के लिए किया है।
लेकिन क्या होगा अगर हम इसके बजाय निरंतरता छोड़ दें? सुसंगत सिस्टम के बजाय असंगत सिस्टम हमें हमारे (अक्सर असंगत) अंतर्ज्ञान को अधिक वास्तविक रूप से औपचारिक रूप देने की अनुमति दे सकता है, अगर उपयोगी भी हो।
दुर्भाग्य से, विस्फोट का सिद्धांत यह बताता है कि इस तरह की प्रणाली मूल रूप से अर्थहीन है क्योंकि प्रत्येक कथन सही और गलत दोनों होगा। हालाँकि, इसके आसपास कोई रास्ता हो सकता है। उदाहरण के लिए, हम तार्किक निष्कासन के नियमों को एक तरह से प्रतिबंधित कर सकते हैं जो विस्फोट के सिद्धांत को रोकता है। या हम सभी प्रमाणों को एक निश्चित लंबाई से कम तक सीमित कर सकते हैं (एक व्यक्ति के सिर में एक ही समय में पकड़ कर सकते हैं कि सहज कदमों की सीमित संख्या के अनुसार)।
क्या इससे पहले यह कोशिश की गई है? क्या यह मानव गणितीय अंतर्ज्ञान के एक मॉडल के रूप में ज्ञानवर्धक / उपयोगी हो सकता है?
नोट: गणितीय दृष्टिकोण के बजाय एक दार्शनिक से, विचार के बहुत सारे धर्म / व्यवस्था मानव अंतर्ज्ञान के भीतर निहित विरोधाभासों को समायोजित करने के लिए स्थिरता का त्याग करने के लिए खुश हैं। ज़ेन बौद्ध धर्म शायद सबसे प्रसिद्ध उदाहरण है, और दाओवाद कुछ ऐसा ही करता है यदि कम चरम है। मैं जीके चेस्टर्टन की पुस्तक "ऑर्थोडॉक्सी" भी पढ़ रहा था जिसमें वह अपने विश्वास प्रणाली (वह एक ईसाई है) का वर्णन करता है, और वह दावा करता है कि तर्क और कारण का पूर्ण पालन पागलपन और बेतुके परिणामों की ओर जाता है, और विरोधाभास की समृद्धि को पकड़ने में विफल रहता है। विचार और वास्तविकता।
जवाब
हां, इस तरह की प्रणालियों की वास्तव में जांच की गई है - प्रमुख शब्दों में "असंगत लॉगिक्स" और "प्रासंगिकता लॉजिक्स" शामिल हैं। पुन: सूत्रों, क्रिस मोर्टेंसन ने एक सारांश लेख और इस विषय पर एक किताब लिखी है , हालांकि बाद में कुछ मुद्दे हैं ( यहां देखें )।
यहां एक और महत्वपूर्ण शब्द "डायलेथिज़्म" है। बहुत मोटे तौर पर, असंगत आदि तर्कशास्त्र विरोधाभासी हैं - इस अर्थ में सहिष्णु कि इस तरह के तर्क में एक सिद्धांत के लिए, केवल असंगतता तुच्छता नहीं है। डायलेथिज़्म दार्शनिक रुख है कि सच्चे विरोधाभास हैं। ग्राहम पुजारी ने इस विषय पर बहुत कुछ लिखा है (उदाहरण के लिए यहां देखें )।
उस ने कहा, मैं वास्तव में इस तरह के पहले अपूर्णता प्रमेय के आसपास पाने के लिए किसी भी प्रशंसनीय प्रयास से अवगत नहीं हूं: मैं एक सिद्धांत के लिए कोई प्राकृतिक उम्मीदवारों के बारे में नहीं जानता हूं जो एक तर्क-संगत तर्क में है जो कम्प्यूटेशनल रूप से स्वयंसिद्ध है, जिसमें शामिल हैं $\mathsf{Q}$उप-योग (कहो) के रूप में, पूर्ण है, और बहुधा निरर्थक है। हम एक कमजोर अर्थ में दूसरी अपूर्णता प्रमेय के आसपास प्राप्त कर सकते हैं , हालांकि: मोर्टेंसन की पुस्तक में एक विशेष प्रासंगिक अंकगणित पर चर्चा की गई है जिसमें शास्त्रीय प्रथम क्रम शामिल है$\mathsf{PA}$ लेकिन किसकी नग्नता है $\mathsf{PA}$-provable। (चूँकि इस संदर्भ में nontriviality का अर्थ निरंतरता नहीं है, यह वास्तव में दूसरी अपूर्णता प्रमेय का उल्लंघन नहीं करता है।) एक और उल्लेखनीय अनुप्रयोग भोले सेट सिद्धांत की समझ बनाने के लिए असंगत तर्क की क्षमता है; जैसे देखने के लिए यहाँ ।