क्या चेन नियम सामान्य डेरिवेटिव्स के लिए है?
वेक्टर स्थान के लिए $\mathbb{R}^n$ हमारे पास आंशिक डेरिवेटिव हैं, जो श्रृंखला नियम का पालन करते हैं, जैसे:
लश्कर $F:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$, $f:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}$, के लिए मानक आधार मान $\mathbb{R}^n$ है $x^i$ और के लिए मानक आधार $\mathbb{R}^m$ है $y^j$हमारे पास रचना के लिए:
$$\left.\frac{\partial}{\partial x^{i}}\right|_{p}(f \circ F)=\frac{\partial f}{\partial y^{j}}(F(p)) \frac{\partial F^{j}}{\partial x^{i}}(p)$$
जो मानक श्रृंखला नियम है।
अब बीजगणित के बीच सामान्य मामले को व्युत्पन्न के रूप में रैखिक मानचित्र पर विचार करें $v:A\to B$ साथ में $v(fg) = fv(g)+gv(f)$।
इस मामले में रचना के लिए श्रृंखला नियम है $v(f\circ g)$फिर भी तुम्हें पकड़ बनाए रखनी चाहिए? ऐसा लगता है कि नहीं?
(हम अंतर के लिए जानते हैं $dF_p:T_pM\to T_p N$ श्रृंखला नियम अब भी है)
जवाब
चिकने मैनिफोल्ड्स के मामले में, जिसे आप चेन रूल कहते हैं, वह फंकीर की फंक्शनलिटी की अभिव्यक्ति है, जो कि चिन्हित बिंदु से कई गुना अधिक है। $(M,p)$ अपने स्पर्शरेखा स्थान के लिए $T_pM$ और इस तरह की वस्तुओं का एक आसान नक्शा ले रहा है $f:(M,p)\to (N,q)$ संबंधित अंतर के लिए $df_p:T_pM\to T_qN$। फनियोरियलिटी कहती है कि एक रचना दी$$ (M,p)\xrightarrow{f} (N,q)\xrightarrow{g}(P,r)$$ एक रिश्ता है $d(g\circ f)_p=dg_q\circ df_p$। कम संक्षिप्त भाषा में, यह सिर्फ यह कहता है कि रचना का अंतर विभेदों की संरचना है। जिसे ठोस शब्दों में कहें, दिया गया$$ \Bbb{R}^n\xrightarrow{F} \Bbb{R}^m\xrightarrow{f} \Bbb{R}$$ जैसा कि ऊपर, हम जानते हैं कि अंतर क्रमशः हैं $$ \bigg[\frac{\partial F^i}{\partial x^j}\bigg]_p$$ तथा $$ \bigg[\frac{\partial f}{\partial y^i}\bigg]_{F(p)}$$ जहां पहले स्थान पर निर्देशांक हैं $x^1,\ldots, x^n$ और दूसरी जगह पर निर्देशांक हैं $y^1,\ldots, y^m$ और पहला मैट्रिक्स है $m\times n$, और दूसरा है $1\times m$। विभेदक का सम्मिश्रण इन मैट्रिस का गुणन है, जो आप लिखते हैं$$ \bigg[ \sum_{i=1}^n\frac{\partial F^i}{\partial x^j}(p)\frac{\partial f}{\partial y^i}(F(p))\bigg]$$ जहां यह एक है $1\times n$ आव्यूह।
आप जो सवाल पूछ रहे हैं वह अलग है। चलिए बताते हैं$A$ तथा $B$ कर रहे हैं $k-$कुछ क्षेत्र के लिए बीजगणित $k$। फिर एक रूपवाद$v:A\to B$ जो है $k-$रैखिक और लाइबनिज (यानी $v(fg)=v(f)g+fv(g)$) एक प्रकार का अंतर ऑपरेटर है। हालांकि, यहां यह स्पष्ट नहीं है कि आप चेन नियम का क्या मतलब चाहते हैं। श्रृंखला नियम वह है जो तब होता है जब हम एक अंतर ऑपरेटर को अपनी कई गुना सेटिंग में कार्यों के एक समग्र पर लागू करते हैं। इस मामले में,$f\circ g$ इसका भी कोई मतलब नहीं है।
मैं निम्नलिखित प्रस्ताव करता हूं: ज्यामितीय रिक्त स्थान की एक श्रेणी को देखते हुए $\mathscr{C}$, और एक "फ़ंक्शन" $F: \mathscr{C}\to \mathscr{A}$, प्रत्येक स्थान को असाइन करना $X$ एक बीजीय संरचना $F(X)$, हम कहते हैं कि $F$एक श्रृंखला नियम का पालन करता है यदि$F$ ऊपर के अर्थ में फंक्शनल है: दिया गया $$ X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z$$ हमारे पास है $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$। यह वास्तव में थोड़ा अस्पष्ट है, लेकिन यह दिखाता है कि हमने चेन नियम को परिभाषित करने के लिए "उपयोग" किया था।