क्या एक विशेषण फ़ंक्शन है $f:[0,1] \to [0,1]$ इस तरह का ग्राफ $f$ में $\mathbb{R}^2$ का घना उपसमुच्चय है $[0,1] \times [0,1]$?
क्या एक विशेषण फ़ंक्शन है$f:[0,1] \to [0,1]$ऐसी है कि ग्राफ के$f$ में $\mathbb{R}^2$का घना उपसमुच्चय है$[0,1] \times [0,1]$? (शीर्षक के समान ही)।
मुझे लगता है कि यदि हम एक ही प्रश्न पूछते हैं, लेकिन एक फ़ंक्शन के लिए प्रश्न बहुत प्रभावित नहीं होता है $f:(0,1) \to [0,1]$ या $f:[0,1) \to (0,1]$ आदि, के रूप में विरोध किया $f:[0,1] \to [0,1]$, जो मूल प्रश्न में था। यह सब वास्तव में मायने रखता है कि डोमेन और सीमा बंधे हुए हैं, के सबसेट उपसमुच्चय$\mathbb{R}^2$।
मुझे लगता है कि प्रश्न का उत्तर हां में है, लेकिन मुझे नहीं पता कि इस तरह के समारोह का निर्माण कैसे किया जाता है।
ध्यान देने वाली पहली बात यह है कि यदि ऐसा कोई कार्य मौजूद है तो वह निरंतर कहीं और होना चाहिए, अन्यथा च का ग्राफ पूरे समय तक नहीं रहेगा। $[0,1] \times [0,1]$। हालांकि, यह स्पष्ट नहीं है कि क्या हमारे कार्य का ग्राफ पूरी तरह से डिस्कनेक्ट हो जाएगा$[0,1] \times [0,1]$।
क्या कहीं भी लगातार कार्य करने से जुड़ा ग्राफ हो सकता है?
मैंने वास्तव में उपरोक्त प्रश्न के उत्तर किसी भी विवरण में नहीं पढ़े हैं, और वैसे भी, यहाँ प्रश्न का उत्तर देना प्रासंगिक नहीं हो सकता है (हालाँकि यह शायद)।
मेरा प्रयास:
लश्कर $f_{ Conway_{(0,1)} }:(0,1) \to \mathbb{R} $हो कोनवे आधार -13 समारोह , लेकिन डोमेन के साथ करने के लिए प्रतिबंधित$(0,1)$। अब परिभाषित करें$f_{Conway_{(0,1)}bounded}(x) = \frac{1}{\pi} \arctan(f_{ Conway_{(0,1)} }(x)) + \frac{1}{2}$ डोमेन के साथ $(0,1)$ और रेंज $(0,1)$। फिर फ़ंक्शन अच्छी तरह से परिभाषित है, और का ग्राफ$f_{Conway_{(0,1)}bounded}:(0,1) \to (0,1)$ का घना उपसमुच्चय है $[0,1] \times [0,1]$। अब हम अपने फ़ंक्शन को आसानी से संशोधित कर सकते हैं$f_{Conway_{(0,1)}bounded}$ ताकि इसमें डोमेन हो $[0,1]$ और रेंज $[0,1]$, और मुझे लगता है कि पाठक ऐसा कर सकता है और संक्षिप्तता के लिए विवरण छोड़ सकता है। लेकिन मुद्दा यह है कि, डोमेन में ये दो बिंदु गायब हैं,$0$ तथा $1$, कोई समस्या नहीं है।
समस्या यह है कि हमारा कार्य इंजेक्शन नहीं है।
ध्यान दें कि हम केवल ग्राफ के बिंदुओं को हटाकर प्रश्न का उत्तर नहीं दे सकते हैं $f_{Conway_{(0,1)}bounded}$, तब आप डोमेन से बहुत सारे बिंदुओं को हटा रहे होंगे, और इसलिए यह डोमेन के साथ एक फ़ंक्शन नहीं होगा $(0,1)$। तो शायद कुछ करने में होशियार$f_{Conway_{(0,1)}bounded}$, या शायद सवाल का जवाब देने के लिए एक समारोह का निर्माण करने के लिए एक पूरी तरह से अलग तरीके के साथ आ रहा है।
जवाब
सादगी के लिए मैं काम करूंगा $[0,1]\times [0,1].$ नीचे दिए गए शब्द "गिनने योग्य" का अर्थ "अनगिनत रूप से अनंत" होगा।
लेम्मा: एक जोड़ीदार वियोग संग्रह मौजूद है $\{D_n:n\in \mathbb N\}$ के उपसमुच्चय $(0,1)$ ऐसा है कि प्रत्येक $D_n$ गणनीय और सघन है $(0,1).$
प्रमाण: चलो $p_1,p_2,\dots$प्रमुख संख्या हो। प्रत्येक के लिए$n,$ परिभाषित $D_n$ अनुपात का सेट होना $j/p_n^k,$ कहाँ पे $k\in \mathbb N,$ $1\le j < p_n^k,$ तथा $j,p_n$अपेक्षाकृत प्रमुख हैं। मैं यहाँ रुकूँगा, लेकिन अगर आपको पसंद है तो सवाल पूछें।
अब खुले अंतराल के दोहरे अनुक्रमित संग्रह को परिभाषित करें $$I_{mk}=(\frac{k-1}{m},\frac{k}{m}),$$ कहाँ पे $m\in \mathbb N, 1\le k\le m.$ हम इन अंतरालों को रैखिक रूप से आदेश दे सकते हैं $I_{11}, I_{21},I_{22},I_{31}, I_{32},I_{33},\dots$ इस क्रम में आइए केवल अंतराल को बताएं $J_1,J_2,\dots.$
प्रत्येक के लिए $n,$ सेट $D_n\cap J_n$ का एक गणनीय घना सबसेट है $J_n.$ ध्यान दें कि संग्रह $\{D_n\cap J_n)\}$ जोड़ीदार असहमति है।
अब के लिए $n=1,\dots,$ परिभाषित $f:[0,1]\to [0,1]$ परिभाषित करके $f:J_n\cap D_n \to D_n$कोई भी आपत्ति पसंद करने के लिए। पूर्ण आक्षेप प्राप्त करने के लिए, ध्यान दें$[0,1]\setminus (\cup J_n\cap D_n)$ है $[0,1]$शून्य से एक गणना योग्य सेट। तो है$[0,1]\setminus (\cup D_n).$ इसलिए इन सेटों की कार्डिनैलिटी है $[0,1],$इसलिए उनके बीच एक आपत्ति है। लश्कर$f$इन सेटों के बीच यह आक्षेप है। अभी$f$ से पूर्ण आक्षेप है $[0,1]$ सेवा $[0,1].$
घनत्व दिखाने के लिए, चलो $(a,b)\times (c,d)\subset (0,1)\times (0,1).$ फिर कुछ बड़े के लिए $n$ (अब तय) $J_n\cap D_n\subset (a,b).$ और तब से $f(J_n\cap D_n)=D_n,$ का घना उपसमुच्चय $(0,1),$ वहां मौजूद $x\in J_n\cap D_n$ ऐसा है कि $f(x)\in (c,d).$ इस प्रकार $(x,f(x))\in (a,b)\times (c,d).$ यह का ग्राफ दर्शाता है $f$ में घना है $[0,1]\times [0,1].$
हां, आप जो कर सकते हैं वह एक इंजेक्शन फ़ंक्शन का निर्माण है $f:\mathbb Q \cap [0,1] \rightarrow \mathbb [0,1]$ जिसका ग्राफ घना है $[0,1] \times [0,1]$ और फिर के डोमेन का विस्तार करें $f$ सेवा $\mathbb [0,1]$ एक तरह से जो बनाता है $f$ एक आक्षेप (यह तब से उल्लेखनीय है जब से हैं $|\mathbb R | $ में इंगित करता है $[0,1]$ की छवि में पहले से ही नहीं है $f$)।
उदाहरण के लिए, पर $\mathbb Q \cap [0,1]$ आप दे सकते हैं $$f \left ( \frac{a}{b} \right ) = \frac{\pi a^2}{b} \mod 1$$
Let S (x, n) = (2x + 1) / (2 ^ (2n + 1))।
R (x, n) को मंजिल होने दें (x / (2 ^ n)) + (2 ^ n) (x mod 2 ^ n) (अनौपचारिक रूप से, x के बाइनरी विस्तार के दो हिस्सों को स्वैप करें)।
F (b) = S (R (x, n), n) यदि कुछ x, n (जो, काफी तुच्छ हो, तो अद्वितीय होना चाहिए) जैसे कि S (x, n) = b, और b अन्यथा।
किसी भी "बाइनरी ग्रिड सेल" पर विचार करें, [a * 2 ^ -n, (a + 1) * 2 ^ -n] x [b * 2 ^ -n, (b + 1) * 2 ^ -n]। (S (* * 2 ^ n + b, n), f (S (a * 2 ^ n + b, n)) = S (b * 2 ^ n + a, n) इस ग्रिड सेल में है।