क्या गांठ की संख्या एक अपरिवर्तनीय है?
प्रश्न: क्या एक गाँठ में घटकों की संख्या विशेष प्लानर एम्बेडिंग पर निर्भर करती है?
मैं जांच कर रहा हूं कि अंतर्निहित प्लानर ग्राफ संरचना के आधार पर सेल्टिक गाँठ में घटकों की संख्या ("अलग किस्में") की गणना कैसे की जाए। (समुद्री मील / लिंक और प्लानर रेखांकन के बीच संबंधों को देखें यहाँ )।
जाहिरा तौर पर सामान्य रेखांकन के लिए गणना थोड़ी जटिल है; उदाहरण के लिए, इस सवाल का संदर्भ यह बताता है कि वर्दी के लिए$m\times n$ वर्गों की ग्रिड, घटकों की संख्या है $\mathrm{lcd}(m,n)$।
यह मुझे घटकों की संख्या ("स्ट्रैड्स"), या स्ट्रैंड्स की संख्या और विभिन्न ग्राफ प्रॉपरियों जैसे इसकी डिग्री, स्पेक्ट्रम आदि के बीच संबंध बनाने के लिए एक सूत्र खोजने के लिए संतुष्ट करेगा, भले ही उन गुणों की गणना करना कठिन था। ।
एक दृष्टिकोण जो मैंने लिया है वह जुड़े हुए घटकों के संदर्भ में है: प्रत्येक अलग स्ट्रैंड एक विशेष प्रक्षेपवक्र का अनुसरण करता है, और उन प्रक्षेपवक्रों के जुड़े घटक स्ट्रैंड के बिल्कुल अनुरूप हैं। आप प्रक्षेपवक्र को एक संक्रमण फ़ंक्शन मैपिंग (कुछ अतिरिक्त संरचना प्लस) के रूप में परिभाषित कर सकते हैं, जिसके प्रत्येक किनारे इसके उत्तराधिकारी को; यह (संरचित) किनारों पर एक क्रमपरिवर्तन है जिसके चक्र घटक हैं।
संक्रमण फ़ंक्शन को अपने स्वयं के, व्युत्पन्न, निर्देशित ग्राफ़ ( ग्राफ़-एन्कोडेड मैप के समान ) के रूप में एन्कोड किया जा सकता है , जिनके जुड़े घटक गाँठ के घटक हैं। रैखिक बीजगणित से, हम जानते हैं कि जुड़े हुए घटकों की संख्या को आसन्न मैट्रिक्स के लाप्लासियन के शून्य eigenvalue की बहुलता के रूप में पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।
हालांकि, मुझे पता है कि एक ही ग्राफ $G$कई गैर-आइसोमॉर्फिक प्लेनर एम्बेडिंग हो सकते हैं (अर्थात जिनके दोहरे गैर-आइसोमॉर्फिक हैं)। अब तक के मेरे अनुभव में, इसने गाँठ के कुछ गुणों को बदल दिया है (जैसे प्रत्येक घटक में ट्विस्ट की संख्या) लेकिन घटकों की संख्या नहीं:
मेरा सवाल यह है:
प्रश्न: क्या एक गाँठ में घटकों की संख्या विशेष प्लानर एम्बेडिंग पर निर्भर करती है? हम इसे कैसे साबित करेंगे?
मेरा अंतर्ज्ञान कहता है कि घटकों की संख्या एक अपरिवर्तनीय है, लेकिन मैं ऊपर दिए गए मेरे दृष्टिकोण का उपयोग करके एक प्रतिरूप या प्रमाण का उत्पादन करने में सक्षम नहीं हूं।
अनुमान: यदि $G$ एक ग्राफ है, तो इसी गाँठ है $c$ घटकों, जहां
$$T_G(-1,-1) = (-1)^{|E(G)|}\cdot (-2)^{c - 1}$$
तथा $T_G$ टुट्टे बहुपद है, और $|E(G)|$ग्राफ में किनारों की संख्या है। (?)
जवाब
चलो $D$एक लिंक का आरेख हो। उदाहरण के लिए,$D$केल्टिक गाँठ या आपके पोस्ट में चित्रित लिंक का आरेख हो सकता है। चलो$G$ का चेकबोर्ड ग्राफ हो $D$। लेखाचित्र$G$ आपके पहले बुलेट पॉइंट में वर्णित ग्राफ है।
उत्तर: के घटकों की संख्या$D$ सार ग्राफ द्वारा निर्धारित किया जाता है $G$ और कैसे पर निर्भर नहीं करता है $G$ विमान में एम्बेडेड है।
मेरे ज्ञान का सबसे अच्छा करने के लिए, यह पहली बार 1979 में मिशेल लास Vergnas द्वारा सिद्ध किया गया था। उन्होंने दिखाया कि घटकों की संख्या $D$ टुटे बहुपद मूल्यांकन द्वारा निर्धारित किया जाता है $T_G(-1,-1)$। चूंकि टुट्टे बहुपद के एक विशेष एम्बेडिंग पर निर्भर नहीं करता है$G$परिणाम इस प्रकार है। इस पत्र का संदर्भ है
- लास वर्गनस, मिशेल। रेखांकन के Eulerian विभाजन पर । ग्राफ थ्योरी और कॉम्बीनेटरिक्स (प्रोक। कॉन्फिडेंस, ओपन यूनिव।, मिल्टन कीन्स, 1978), पीपी। 62–75, रेस। मैथ में नोट्स।, 34, पिटमैन, बोस्टन, मास।-लंदन, 1979।
डैन सिल्वर और सुसान विलियम्स (arXiv लिंक ) के कारण, मुझे आसानी से उपरोक्त पेपर की एक प्रति नहीं मिल रही है, इसलिए समाधान प्राप्त करने का एक और तरीका है । वे एक मैट्रिक्स को परिभाषित करते हैं$Q_2(G)$ जिनकी प्रविष्टियाँ दो तत्वों के साथ क्षेत्र में हैं $\mathbb{F}_2$निम्नलिखित नुसार। मैट्रिक्स की दोनों पंक्तियों और स्तंभों को अनुलंबों द्वारा अनुक्रमित किया जाता है$v_1,\dots,v_n$ का $G$। अगर$i\neq j$, फिर $ij$ का प्रवेश $Q_2(G)$ कोने के बीच किनारों की संख्या है $v_i$ तथा $v_j$ (लिया$\mod 2$) है। द$ii$ का प्रवेश $Q_2(G)$ पंक्ति में अन्य प्रविष्टियों का योग है $i$ (फिर से लिया गया$\mod 2$) है। समान रूप से, हम कह सकते हैं$ii$ में प्रवेश $Q_2(G)$ कॉलम में अन्य प्रविष्टियों का योग है $i$।
लिंक्ड पेपर के प्रमेय 1.1 में, वे साबित करते हैं कि घटकों की संख्या $D$ की शून्यता के बराबर है $Q_2(G)$। वे रेमर्क 1.2 में ध्यान देते हैं कि इससे घटकों की संख्या का पता चलता है$D$ के विमान एम्बेडिंग से स्वतंत्र है $G$।
संपादित करें: मेरे पास लास वेर्गनास पेपर तक पहुंच नहीं है, लेकिन मैं टुटे पॉलिनोमियल और जोन्स पॉलिनोमियल का उपयोग करके परिणाम का एक और स्पष्टीकरण दे सकता हूं।
चलो $L$ एक वैकल्पिक लिंक हो, चलो $D$ लिंक का एक वैकल्पिक आरेख हो, और जाने दो $G$ का चेकबोर्ड ग्राफ हो $D$। फिर टुटे बहुपद$T_G(x,y)$ का $G$ और जोन्स बहुपद $V_L(t)$ का $L$ इस प्रकार से संबंधित हैं: $$V_L(t) = f_D(t) T_G(-t,-t^{-1})$$ समारोह के लिए $f_D(T)$ द्वारा परिभाषित $$f_D(t) = (-1)^{w(D)}t^{\frac{1}{4}(|E| - 2(|V|-1)+3w(D))}$$ कहां है $w(D)$ का लेखन है $D$, $|E|$ किनारों की संख्या है $G$, तथा $|V|$ के कोने की संख्या है $D$। नोटिस जो$|f_D(1)|=1$, और इस तरह $|V_L(1)| = |T_G(-1,-1)|$।
जोन्स बहुपद कंकाल संबंध को संतुष्ट करता है $$(t^{\frac{1}{2}}-t^{-\frac{1}{2}})V_{L_0}(t) = t^{-1}V_{L_+}(t) - tV_{L_-}(t)$$ कहां है $L_+,L_-,$ तथा $L_0$ नीचे दिए गए हैं।
स्थापना $t=1$ उपरोक्त स्कीन संबंध पैदावार में $V_{L_+}(1)=V_{L_-}(1)$। दूसरे शब्दों में जोन्स बहुपद का मूल्यांकन किया गया$t=1$ क्रॉसिंग परिवर्तनों के तहत परिवर्तन नहीं होता है, और इस प्रकार $V_L(1)=V_{\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc}(1)$ कहां है $\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc$ के रूप में घटकों की एक ही संख्या के साथ तुच्छ लिंक है $L$। जोन्स बहुपद$\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc$ है $V_{\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc}(t) = (-t^{\frac{1}{2}}-t^{-\frac{1}{2}})^{m-1}$ कहां है $m$ के घटकों की संख्या है $\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc$। इस प्रकार$$|T_G(-1,-1)|=|V_L(1)|=|V_{\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc}(1)| = 2^{m-1}.$$
उपरोक्त मामला कब $L$बारी-बारी से है। अगर$L$गैर-वैकल्पिक है, तो निम्नानुसार आगे बढ़ें। चलो$D$ के किसी भी आरेख हो $L$। परिभाषित करें$D_{\text{alt}}$ के रूप में एक ही छाया के साथ एक आरेख होने के लिए $D$ लेकिन जिनके क्रॉसिंग को बारी-बारी से बदल दिया जाता है, और परिभाषित किया जाता है $L_{\text{alt}}$ लिंक जिसका आरेख है $D_{\text{alt}}$। ध्यान दें कि$D$ तथा $D_{\text{alt}}$ एक ही चेकरबोर्ड ग्राफ है $G$। उपरोक्त तर्क का तात्पर्य है कि$|T_G(-1,-1)|=2^{m-1}$ कहां है $m$ के घटकों की संख्या है $L_{\text{alt}}$। जबसे$L_{\text{alt}}$ तथा $L$ घटकों की एक ही संख्या है, जिसके लिए परिणाम निम्नानुसार है $L$ भी।