क्या हम परिभाषित कर सकते हैं? $z^{\frac{1}{2}}$ एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन के रूप में $\mathbb{C}\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.$?

Question

विचार करें $$z^{\frac{1}{2}}:=e^{\frac{1}{2}(\log|z|+iarg(z))}.$$

हम देख सकते हैं, उदाहरण के लिए, $z^{\frac{1}{2}}$ पास एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $z=\frac{1}{2}$, के एक बहुत छोटे से पड़ोस chossing द्वारा $z=\frac{1}{2}$, और एक उपयुक्त परिभाषित करते हैं $arg(z)$ इसे निरंतर बनाने के लिए।

मेरा सवाल: कर सकते हैं $z^{\frac{1}{2}}$ पर एक Holomorphic फ़ंक्शन के रूप में माना जाता है $D\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.$? यहाँ$D$ में इकाई डिस्क है $\mathbb{C}$।

हॉल्मॉर्फिक फ़ंक्शन द्वारा मेरा मतलब है कि एक नक्शा$f:D\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.\rightarrow \mathbb{C}$ कॉची-रीमैन समीकरण को संतुष्ट करता है $D\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.$।

जैसा कि नीचे दिया गया है , हम देखते हैं कि मेरे प्रश्न का उत्तर नकारात्मक है। मैं निम्नलिखित अतिरिक्त प्रश्न पर विचार करना चाहूंगा:

एक अतिरिक्त प्रश्न : इसी तरह का प्रश्न लेकिन इस बार हम डोमेन पर विचार करते हैं$D\left\backslash B(0,\epsilon) \right.$, एक बहुत छोटे के लिए $\epsilon$।

Answer 1

नहीं, यह संभव नहीं है। इस समारोह में एक पंक्चर पड़ोस में बसा होगा$0$, जो बनायेगा $0$ की एक हटाने योग्य विलक्षणता $z^{\frac{1}{2}}$। परन्तु फिर$0$ व्युत्पन्न की एक हटाने योग्य विलक्षणता भी होगी $\frac{1}{2z^{\frac{1}{2}}}$, जिसमें एक हटाने योग्य विलक्षणता नहीं हो सकती है $0$ क्योंकि यह एक छिद्रित पड़ोस में बंधी नहीं है।