क्या इस ODE का दूसरा समाधान सही है?

Dec 25 2020

Mathematica V 12.2 विंडोज़ पर 10. मैं इस ODE के लिए अपने समाधान की जाँच करने के लिए Mathematica का उपयोग कर रहा था। गणितज्ञ 2 समाधान देता है। कोई भी विचार दूसरा समाधान कहां से आया? और क्या यह सही है?

यहाँ मेरा समाधान है, और गणितज्ञ का समाधान है

ClearAll[y, x];
ode = y'[x] == 2*Sqrt[1 + y[x]]*Cos[x];
sol = DSolve[{ode, {y[Pi] == 0}}, y, x]

 (* {{y->Function[{x},-2 Sin[x]+Sin[x]^2]},{y->Function[{x},2 Sin[x]+Sin[x]^2]}} *)

केवल दूसरा समाधान सत्यापित करता है। और यही मैंने प्राप्त किया। सवाल यह है कि गणितज्ञ ने पहले से ऊपर कैसे प्राप्त किया?

Assuming[Element[x, Reals], Simplify@(ode /. sol[[1]])]
  (* Cos[x] Sin[x] == Cos[x] *)

Assuming[Element[x, Reals], Simplify@(ode /. sol[[2]])]
   (* True *)

मेरा समाधान: ODE $$ \frac{ \mathop{\mathrm{d}y}}{\mathop{\mathrm{d}x}} = 2 \sqrt{y +1}\, \cos \left(x \right) $$वियोज्य है। इसलिये
\begin{align*} \left(\frac{1}{2 \sqrt{y +1}}\right)\mathop{\mathrm{d}y}&= \cos \left(x \right)\mathop{\mathrm{d}x}\\ \int \left(\frac{1}{2 \sqrt{y +1}}\right)\mathop{\mathrm{d}y}&= \int \cos \left(x \right)\mathop{\mathrm{d}x}\\ \sqrt{y +1} &= c_{1}+\sin \left(x \right) \end{align*} प्रारंभिक स्थितियों का उपयोग अब हल करने के लिए किया जाता है $c_{1}$। स्थानापन्न$x=\pi$ तथा $y=0$ उपरोक्त समाधान में एकीकरण के निरंतर हल के लिए एक समीकरण देता है। \begin{align*} \sqrt{1} &= c_{1} \end{align*} परंतु $\sqrt{1}=1$, मूल जड़ ले रहा है। इसलिये\begin{align*} c_1 &= 1 \end{align*} स्थानापन्न $c_{1}$ सामान्य समाधान में ऊपर पाया जाता है $$ \sqrt{y \left(x \right)+1} = \sin \left(x \right)+1 $$ के लिए हल $y \left(x \right)$ देता है \begin{align*} y(x)+1 &= (1+\sin(x))^2 \\ y(x)+1 &= (1+\sin^2(x)+2 \sin(x)) \\ y(x) &= \sin^{2}x +2 \sin(x) \end{align*}

ऊपर से, मैं देखता हूं कि गणितज्ञ ने दो समाधान प्राप्त किए होंगे $c_1$ जैसा $\pm 1$ जब लेने $\sqrt 1$

तभी यह इन दोनों समाधानों को प्राप्त करेगा। जब के लिए$c_1 = -1$, पहला समाधान जो दिखाता है वह सामने आएगा। और जब$c_1= 1$, दूसरा समाधान निकलेगा।

क्या मैथेमेटिका का पहला उपाय सही है? क्या गणितज्ञ को केवल वही प्राप्त करना चाहिए$c_1 = 1$ और नहीं $c_1 = \pm 1$?

जवाब

Vixillator Dec 27 2020 at 09:34
ClearAll[y, x, ode, sol];

(* The given equation ode is a non-linear (quadratic) ODE, which yields two 
   solutions, as expected. Since both solutions satisfy the ODE they are both correct.
   Note that the ODE is equivalent to: y'[x]^2 == 4*(1 + y[x])*Cos[x]^2 *)

ode = y'[x] == 2*Sqrt[1 + y[x]]*Cos[x];
sol = DSolve[{ode, {y[Pi] == 0}}, y[x], x]

(* OUT: {{y[x] -> -2 Sin[x] + Sin[x]^2}, {y[x] -> 2 Sin[x] + Sin[x]^2}} *)

(* In order to obtain a single solution, we need to reduce the ODE to
a quasi-linear ODE, by defining an auxiliary boundary condition, say
at x=0, that will constrain the solution to the one that we seek *)

bcNew = ode /. x -> 0

(* OUT: y'[0] == 2 Sqrt[1 + y[0]] *)

solNew = DSolve[{ode, y[Pi] == 0 && bcNew}, y[x], x]

(* OUT: {{y[x] -> 2 Sin[x] + Sin[x]^2}} *)

(* QED *)