क्या इस प्रकार का कोई परिमित अर्धवृत्त एक वामावर्त है?

Dec 23 2020

लश्कर $(S, \cdot, e)$ एक अर्धवृत्त हो $(S, \cdot)$ बाइनरी ऑपरेशन के साथ $e$ जिसमें पहचान हो $e(x, y)\cdot x\approx x$ तथा $e(x, y)\approx e(y, x)$ पकड़।

में इस सवाल का मैं पूछा कि क्या किसी भी तरह के semigroup जरूरी एक छोड़ दिया monoid है। उदाहरण मुझे जे.ई.ई. पिन दिखाता है कि यह सच नहीं है। स्पष्ट रूप से,$(\mathbb{Z}, \min, \max)$ एक वामपंथी नहीं है, लेकिन उन पहचानों को संतुष्ट करता है।

एक बाईं ओर का एक बाईं ओर एक अर्धवृत्त है, जिसकी पहचान है।

चूँकि मैं इस तरह एक परिमित अर्धवृत्त नहीं पा सकता था, जो कि एक वामपंथी नहीं होगा, और मैंने जीएपी के क्रम में जाँच करने की कोशिश की है $\leq 4$, मुझे संदेह है कि इस फॉर्म के सभी परिमित अर्धवृत्त कुछ कॉम्बीनेटरियल कारणों के लिए मोनोइड्स हैं।

दुर्भाग्य से, मुझे यकीन नहीं है कि ऑर्डर के सभी सेमीग्राफ कैसे प्राप्त करें, कहते हैं, $\leq 7$, जो मोनोपॉज़ नहीं छोड़ा जाएगा और सभी सेमीग्रुप्स को छोड़कर अन्य सभी सेगमेंट्स होंगे, जो कि GAP के स्मॉलसेमी पैकेज का उपयोग करते हुए मोनोजेनिक या मोनॉयड नहीं हैं और यदि वे इस फॉर्म के हैं तो एक गुणा तालिका बनाकर जाँच करें। जैसा कि आप कल्पना कर सकते हैं, यह बहुत थकाऊ है।

क्या इस रूप का एक परिमित अर्धवृत्ताकार मौजूद है, एक वामपंथी नहीं है, और यदि हाँ, तो क्या आप कम से कम आदेश का उदाहरण प्रदान कर सकते हैं?

जवाब

2 J.-E.Pin Dec 28 2020 at 22:24

कोई भी गैर-रिक्त परिमित परिधि $S$इस प्रकार की एक वाम पहचान है। पहले वह सब देख लें$x, y \in S$, $$ (1) \quad e(x,y)x = x \text{ and } e(x,y)y = e(y,x)y = y. $$ जबसे $S$ परिमित है, इसमें एक उदासीनता है $x_0$। लश्कर$S = \{x_0, x_1, \ldots, x_n\}$ और जाने $(a_i)_{0 \leqslant i \leqslant n}$ के तत्वों का अनुक्रम हो $S$ द्वारा परिभाषित $a_0 = x_0$ और के लिए $1 \leqslant i \leqslant n$, $a_i = e(a_{i-1},x_i)$

दावा करें :$a_n$ की एक बाईं पहचान है $S$

इसके लिए पहले निरीक्षण करें $1 \leqslant i \leqslant n$, \begin{align} &(2) \quad& a_ia_{i-1} &= e(a_{i-1},x_i)a_{i-1} = a_{i-1} \\ &(3) \quad& a_ix_i &= e(a_{i-1},x_i)x_i = x_i \end{align} आइए अब हम इंडक्शन पर साबित करें $k = i+j$ उसके लिए $0 \leqslant i \leqslant j$, $$ (4) \quad a_jx_i = x_i. $$ अगर $k = 0$, तब फिर $i = j = 0$ तथा $a_0x_0 = x_0$ जबसे $x_0$उदासीन है। मान लीजिए कि (4) के लिए है$i + j \leqslant k$ और मान लीजिए कि $i + j = k+1$। अगर$i = j$, तो (4) इस प्रकार है (3)। अगर अब$i \leqslant j-1$, तब फिर $a_{j-1}x_i = x_i$प्रेरण परिकल्पना द्वारा। यह (2) इस प्रकार है$$ a_jx_i = a_j(a_{j-1}x_i) = (a_ja_{j-1})x_i = a_{j-1}x_i = x_i. $$ यह दावा को प्रमाणित करता है और प्रमाण को समाप्त करता है।