क्या मैट्रिक्स का 2-मानक उसके 1-मानक और इन्फिनिटी-मानक के अधिकतम से घिरा है?

Question

मैं 2001 में शेंग हुन चेंग, निकोलस जे। हिघम, चार्ल्स एस। केनी, एलन जे। लूब द्वारा 2001 के "मैट्रिक्स के एक लघुगणक को निर्दिष्ट सटीकता में एल्गोरिथम" को लागू कर रहा हूं।

इस एल्गोरिथ्म में, मैं वास्तविक-मूल्यवान वर्ग मैट्रिक्स के 2-मानक की गणना से बचना चाहूंगा $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$। संख्यात्मक प्रयोग मुझे सुझाव देते हैं कि निम्नलिखित ऊपरी सीमा रखती है

$\|A\|_2 \leq \max ( \|A\|_1, \|A\|_\infty )$

क्या कोई पुष्टि कर सकता है कि क्या यह असमानता हमेशा रखती है? धन्यवाद और शुभ नव वर्ष!

एक उपयोगकर्ता ने टिप्पणी की कि कॉची-श्वार्ज़ का अर्थ है

$\|A\|_2 \leq \sqrt n \min ( \|A\|_1, \|A\|_\infty )$

जो कुछ मामलों में बाउंड को बेहतर बनाता है, लेकिन हमेशा नहीं। इसलिए मुझे आशा है कि मेरा प्रारंभिक प्रश्न अभी भी प्रासंगिकता का है। सुझावित असमानता का एक काउंटर उदाहरण भी सराहा जाएगा, अगर यह मौजूद है।

Answer 1

वास्तव में:

$\|A\|_2 \leq \max ( \|A\|_1, \|A\|_\infty )$

इस प्रकार है

$\|A\|_2 \leq \sqrt { \|A\|_1 \|A\|_\infty } \leq \max ( \|A\|_1, \|A\|_\infty )$

जो कि विकिपीडिया के अनुसार - होल्डर की असमानता का एक विशेष मामला है।