क्या सभी सेटों का वर्ग अच्छी तरह से क्रमबद्ध है? (व्यापक अर्थों में)
मैंने देखा कि प्रश्न ने अच्छी तरह से उचित कक्षाओं का आदेश दिया। और मैं निम्नलिखित पूछना चाहता हूं।
क्या सभी सेटों के वर्ग को रैखिक रूप से आदेश दिया गया है? मेरा मतलब है, मान लें कि हम ZFC सेट सिद्धांत का उपयोग करते हैं। (या ZFC + Tarski स्वयंसिद्ध। (1) वैसे, इस तरह की प्रणाली में ज्ञात विसंगतियाँ हैं?)। हर ब्रह्मांड को ज़र्मेलो के प्रमेय द्वारा अच्छी तरह से आदेश दिया गया है।
(२) लेकिन क्या एक ऐसा वर्ग मौजूद है जो ऑर्ड और सेट के बीच की आपत्ति है?
मुझे लगता है कि ब्रह्मांड का वर्ग रैखिक रूप से आदेश दिया जाता है। हम निचले ब्रह्मांड पर एक आदेश को संरक्षित कर सकते हैं और वर्तमान ब्रह्मांड और पिछले एक के बीच सेट-थ्योरिटिक अंतर के एक आदेश को जोड़ सकते हैं। (जो एक सेट भी है क्योंकि यह अगले ब्रह्मांड से संबंधित है।) (3) क्या मेरे कथन मान्य हैं?
(४) उन्हें कैसे जारी रखा जाए या दूसरे तरीके से सेट करने का आदेश दिया जाए?
मैं बस यही चाहता हूं कि किसी भी तरह से यह साबित किया जाए कि हर उचित वर्ग का "न्यूनतम" तत्व मौजूद है।
जवाब
(1) लगभग सभी सेट सिद्धांतकार ZFC और ZFC + Tarski की स्वयंसिद्धता (या समकक्ष, दुर्गम कार्डिनल्स के एक उचित वर्ग के साथ ZFC) की निरंतरता में विश्वास करते हैं। बेशक, हम Gödel की अपूर्णता प्रमेय के कारण इसकी संगति साबित नहीं कर सकते हैं यदि वे सुसंगत हैं।
(३) वास्तव में, सभी का संग्रह (टार्स्की-ग्रोथेंडीक) ब्रह्माण्ड सुव्यवस्थित हैं: वे फॉर्म के हैं $V_\kappa$ कुछ दुर्गम के लिए $\kappa$, और सभी दुर्गम के वर्ग सभी अध्यादेशों के वर्ग का एक उपवर्ग हैं। इसलिए वे सुव्यवस्थित हैं। (ध्यान दें कि यदि आपका मतलब है कि ब्रह्मांड ZFC का एक मॉडल मात्र है, तो वे रैखिक क्रम में नहीं हैं।)
हालाँकि, हम सभी सेटों के वर्ग को साबित नहीं कर सकते हैं $V$इस तथ्य से अच्छी तरह से आदेश दिया जाता है, भले ही हमारे पास टार्स्की का स्वयंसिद्ध हो। आपको प्रत्येक चरण में एक अच्छी तरह से क्रम चुनना होगा , और इसके लिए एक उचित वर्ग कई विकल्पों की आवश्यकता है, जो कि उचित नहीं है जब तक कि हमारे पास वैश्विक पसंद का स्वयंसिद्ध न हो।
(२) सभी क्रमिक-निश्चित समुच्चय का वर्ग $\mathrm{OD}$ अध्यादेशों के वर्ग की एक विशेषण छवि है $\mathrm{Ord}$। वास्तव में, यदि$X$ एक वर्ग है जो की एक विशेषण छवि है $\mathrm{Ord}$एक निश्चित विशेषण वर्ग फ़ंक्शन के तहत , फिर$X\subseteq \mathrm{OD}$। इसलिए अगर$V\neq \mathrm{OD}$, तो इसके बीच कोई निश्चित आक्षेप नहीं है $\mathrm{Ord}$ तथा $V$।
यहां तक कि अगर हम निश्चितता को छोड़ देते हैं, तो यह मानने का कोई कारण नहीं है कि बीच में एक आपत्ति है $\mathrm{Ord}$ तथा $V$। Mathoverflow पर प्रासंगिक उत्तर देखें ।
(४) यह ज्ञात है कि वे समकक्ष हैं:
- $V$ अच्छी तरह से आदेश दिया है,
- से एक आक्षेप है $\mathrm{Ord}$ सेवा $V$, तथा
- ग्लोबल चॉइस का स्वयंसिद्ध।
कुछ स्वयंसिद्ध हैं जो वैश्विक पसंद का स्वयंसिद्ध अर्थ देते हैं: उदाहरण के लिए, निर्माणवाद का स्वयंसिद्ध साबित होता है कि एक कैनोनिकल ग्लोबल वेल-ऑर्डरिंग है। हालाँकि, मात्र ZFC ग्लोबल चॉइस के स्वयंसिद्ध सिद्ध नहीं करता है, भले ही हम टार्स्की के स्वयंसिद्ध मान लें। इसलिए आपके सिद्धांतों से वैश्विक विकल्प साबित करने का कोई तरीका नहीं है।