क्या सख्त उत्तलता और स्पर्शोन्मुख आत्मीयता का तात्पर्य है?
मुझे यकीन नहीं है कि यह बिल्कुल शोध-स्तर है, लेकिन मैं निम्नलिखित दावे के लिए एक प्रमाण खोजने के लिए संघर्ष कर रहा हूं:
चलो $F:[0,\infty) \to [0,\infty)$ ए हो $C^2$ सख्ती से उत्तल समारोह।
चलो $\lambda_n \in [0,1],a_n\le c_0<b_n \in [0,\infty)$ संतुष्ट होना $$ \lambda_n a_n +(1-\lambda_n)b_n=c_n $$ और मान लीजिए कि $c_n \to c>c_0$।
सेट $D_n=\lambda_nF(a_n)+(1-\lambda_n)F(b_n)-F\big(c_n\big) $, और मान लीजिए कि $\lim_{n \to \infty}D_n=0$
प्रश्न: अवश्य$b_n$ बाध्य होना?
मेरे पास एक बहुत ही सरल प्रमाण है (जो मैं नीचे प्रस्तुत करता हूं) विशेष मामले के लिए जहां $a_n=a,c_n=c$ लगातार अनुक्रम हैं, लेकिन मुझे इसे सामान्य करने में परेशानी हो रही है।
सरलीकृत मामले के लिए सबूत:
हमारे पास है $ \lambda_n a +(1-\lambda_n)b_n=c$।
दिया हुआ $x \ge r$, जाने दो $\lambda(x) \in [0,1]$ अद्वितीय संख्या संतोषजनक हो $$ \lambda(x) a +(1-\lambda(x))x=c. $$ हमारे पास है $\lambda(b_n)=\lambda_n$। परिभाषित करें$$g(x) = \lambda(x) F(a) + (1-\lambda(x))F(x).$$
की सख्त उत्तलता $F$ इसका आशय है $g$ का सख्ती से बढ़ता कार्य है $x$।
धारणा $D_n \to 0$ के बराबर है $g(b_n) \to F(c)$। जबसे$g(b_n) \ge F(c)$ (उत्तलता द्वारा) और $g$ सख्ती से वृद्धि हो रही है, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं $b_n$ बाध्य होना चाहिए।
जवाब
हाँ, $b_n$बाध्य होना चाहिए। इसके विपरीत मान लें। एक अनुगामी के लिए उत्तीर्ण हम मान सकते हैं कि$a_n\to a$, $b_n\to \infty$। हमारे पास है$$\lambda_n=\frac{b_n-c_n}{b_n-a_n}\to 1;\, 1-\lambda_n=\frac{c_n-a_n}{b_n-a_n}\sim (c-a)b_n^{-1},$$ और का उपयोग कर $F(b_n)\geqslant F(c_n)+(b_n-c_n)F'(c_n)$ हमें मिला $$ D_n+F(c_n)=\lambda_n F(a_n)+(1-\lambda_n)F(b_n)\geqslant \lambda_n F(a_n)+(1-\lambda_n)F(c_n)+(1-\lambda_n)(b_n-c_n)F'(c_n)\\ \to F(a)+(c-a)F'(c)>F(c), $$ इस प्रकार $\liminf D_n>0$।