क्या यह संभव है कि (nonsquare) पूर्णांक जो द्विघात अवशेषों को दिया गया है, जो अपराधों की अनंत सूची है?
मैं सोच रहा था कि क्या यह संभव है, प्राइम पी और एक अनंत सूची दी गई $q_1$, $q_2$... एक पूर्णांक घ जो (1) है खोजने के लिए नहीं एक वर्ग आधुनिक पी, लेकिन (2) है एक वर्ग आधुनिक$q_i$सभी के लिए मैं। हमेशा कभी कभी कभी नहीं? शायद कभी-कभी --- कुछ शर्तें क्या हैं? आवेदन में मेरे मन में है,$q_i$ संख्याओं के सभी प्रमुख भाजक हैं $p^{2^n}-1$ जैसे n 1 से अनंत तक होता है, लेकिन यह कुछ हद तक लचीला है।
(आवेदन, वैसे, तर्कसंगत पूर्णांक के घातांक का एक पी-एडिक प्रक्षेप लेना और संख्या क्षेत्रों के टावरों में पूर्णांकों के छल्ले तक इसे शामिल करना शामिल है।)
[ईटीए: मैं यह उल्लेख करना भूल गया कि डी को आवेदन के लिए एक वर्ग मॉड 8 भी होना चाहिए, जो नीचे दिए गए -1 के उत्तर को नियंत्रित करता है।]
एक परिमित सूची के लिए, डी का निर्माण चीनी अवशेष प्रमेय का उपयोग करके किया जा सकता है, लेकिन यह यहाँ मदद नहीं करता है।
डी को देखते हुए, द्विघात पारस्परिकता उन primes का एक अनंत सेट देती है जिसके लिए d एक वर्ग है, लेकिन मुझे पहले निर्दिष्ट किए गए primes की आवश्यकता है।
ग्रुन्वाल्ड-वांग कहते हैं, अगर मैं इसे सही ढंग से समझूं, तो यह शर्त (1) का तात्पर्य है कि d वर्ग वर्गाकार नहीं है$q$ असीम रूप से कई अपराधों के लिए $q$, लेकिन अभाज्य संख्या जो घ के बारे में कुछ नहीं कहा है के लिए एक वर्ग।
चेबतोरोव घनत्व प्रमेय का तात्पर्य यह प्रतीत होता है कि संभव d के सेट में घनत्व शून्य है, लेकिन इससे इंकार नहीं होता (या इसका अर्थ है) कि ऐसा कोई d मौजूद है।
किसी भी मदद, स्रोतों, या सलाह के लिए धन्यवाद!
----जोश
जवाब
यह primes की दी गई सूची पर निर्भर करता है। एक सरल लेकिन आवश्यक शर्त यह है कि वहाँ एक हो$d$ इतना है कि सूची के सभी primes (अधिक से अधिक) $d$) कुछ अनुरूप कक्षाओं में केंद्रित हैं $\bmod 4d.$ हम विषम प्रधान विभाजकों से चिपक सकते हैं क्योंकि सब कुछ एक द्विघात अवशेष है $\bmod 2.$
यदि सूची सभी primes के अनुरूप है $1 \bmod 4$ तब फिर $-1$एक सामान्य द्विघात अवशेष है। यह शायद बहुत रोमांचक नहीं लगता है।
यदि सूची सभी विषम प्रधान विभाजक है $3^{2^n}-1$ जैसा $n$ तब सकारात्मक पूर्णांकों की सीमा होती है $-1$फिर से एक सामान्य द्विघात अवशेष है। यह उसी तरह की बात है जिसका आप उल्लेख कर रहे थे। लेकिन इसका कारण यह है कि वे सभी अपराध हैं$1 \bmod 4$
अगर मैं गलत नहीं हूँ, और उसी कारण से, $-1$ के प्रमुख विभाजकों का एक सामान्य द्विघात अवशेष है $p^{2^n}-1$ जैसा $n$ पर शुरू होने वाले पूर्णांकों पर पर्वतमाला $2.$
कुछ प्राइम्स के लिए, जैसे कि $5,7,17,19,31,53,59$ हम सूची को सभी प्रमुख विभाजकों को विस्तारित कर सकते हैं $p^{2^n}-1$ के अपवाद के साथ $3.$ सामान्य तौर पर यह किसी भी विभाजक को छोड़ने के लिए पर्याप्त है $p^2-1$ कौन से $3 \bmod 4.$
इसके पीछे के तथ्य हैं
- $p^{2^n}-1=(p-1)(p+1)(p^2+1)(p^4+1)\cdots(p^{2^{n-1}}+1)$
- का हर विषम कारक $p^{2^m}+1$ रूप का है $2^{m+1}q+1$
- $-1$ उन अपराधों के लिए एक द्विघात अवशेष है जो हैं $1 \bmod 4.$
इस (आसान) प्रश्न के बारे में पहले सोचें। तय के लिए$d$ क्या अजीब अपराध हैं $q$ ऐसा है कि $d$ एक द्विघात अवशेष है $\bmod q?$ इस सेट पर कॉल करें $G_d.$ हम यह मान सकते हैं $d$ चौकोर है।
फिर के सदस्य $G_d$ के प्रमुख विभाजक हैं $d$ कुछ निश्चित वर्गों के संघ में उन अपराधों के साथ $\bmod 4d.$ आधी कक्षाएं $(r \bmod 4d)$ साथ से $\gcd(r,4d)=1$
कुछ मामलों में ($d$ या भी $d$ सभी विभाजकों के साथ विषम $1 \bmod 4$) यह अनुरूपता वर्गों पर विचार करने के लिए पर्याप्त है $\bmod 2d$। हालाँकि जो लिखा गया है वह अभी भी सही है। मैं आपकी उपेक्षा करूंगा$p$ इस धारणा पर कि लक्ष्य को खारिज करना था $d$ एक वर्ग है।
फिर विशिष्ट $d$ आपकी समस्या के एक विशेष उदाहरण के लिए काम करता है, ठीक है अगर चुनी गई सूची बेशुमार कई अनंत उपसमुच्चय में से एक है $G_d.$
दूसरी ओर, मान लीजिए कि यह सूची के सदस्यों (विभाजकों के अलावा अन्य) को दिया जाता है $d$ सूची में, यदि कोई हो) को कुछ से चुना जाता है $k \ll \phi(d)$ सर्वांगसम कक्षाओं का $\bmod 4d$। फिर, यदि$k$ यादृच्छिक पर चुना जाता है, मौका है कि $d$ काम से कम है $2^{-k}$।
तो एक सूची से शुरू $\mathbf{q}=q_1,q_2,\cdots$ पहला सवाल यह है कि "क्या कोई संदेह करने का कारण है कि कोई है $M$ ताकि सभी सदस्य $\mathbf{q}$ (प्राइम टू $M$) कुछ सर्वांगसम कक्षाओं में केंद्रित हैं $\bmod M?$"अगर ऐसा नहीं होता है, तो कोई उम्मीद नहीं है। यदि यह एक निश्चित के लिए होता है $M,$ तब संभावना कम हो सकती है।
तो यह बहुत कुछ इस बात पर निर्भर करता है कि कहां है $\mathbf{q}$ से आता है।
वैसे, खोजने की समस्या ए $d$ जो सभी के सापेक्ष एक द्विघात गैर-अवशेष है $q \in \mathbf{q},$ उतना ही मुश्किल है।