क्यों ${\rm Ult}(V,{\cal U})\vDash|[id]_{\cal U}|<j_{\cal U}(\kappa)$, कब $\cal U$ एक है $\delta$- अपूर्ण ठीक अल्ट्राफिल्टर पर $\cal P_\kappa(\alpha)$?

Question

निम्नलिखित तर्क प्रमेय 4.7 के प्रमाण में दिखाई देता है। Bagaria-Magidor के पेपर समूह में कट्टरपंथी और दृढ़ता से कार्डिनल हैं ।

लश्कर $\delta<\kappa$ बेशुमार कार्डिनल बनें जो विलक्षण हो सकते हैं $\alpha$ एक अध्यादेश है कि इस तरह $\alpha\geq\kappa$। मान लीजिए कि एक मौजूद है$\delta$-समाप्त ठीक उपाय $\mathcal{U}$ पर $\mathcal{P}_{\kappa}(\alpha)$, यह है $\delta$- अपूर्ण अल्ट्राफिल्टर $\mathcal{U}$ पर $\mathcal{P}_{\kappa}(\alpha)=\{x\subseteq\alpha:|x|<\kappa\}$ ऐसा है कि $\{x\in\mathcal{P}_{\kappa}(\alpha):a\in x\}\in\mathcal{U}$ हर एक के लिए $a\in\alpha$। लश्कर$j_{\mathcal{U}}:V\longrightarrow Ult(V,\mathcal{U})$इसी अल्ट्रापावर एम्बेडिंग हो। जबसे$\mathcal{U}$ है $\delta$- अपूर्ण, तब $Ult(V,\mathcal{U})$अच्छी तरह से स्थापित है। इसके अलावा, द्वारा भी$\delta$- अपूर्णता, का महत्वपूर्ण बिंदु $j_{\mathcal{U}}$ से अधिक या बराबर है $\delta$। अब मेरा सवाल:

क्यों $Ult(V,\mathcal{U})\vDash|[id]_{\mathcal{U}}|<j_{\mathcal{U}}(\kappa)$?

अग्रिम में धन्यवाद।

( यदि यह मौजूद होता तो मैं टैग अल्ट्रापॉवर को जोड़ देता , लेकिन यह नहीं है और इसे बनाने के लिए मेरी कोई प्रतिष्ठा नहीं है)।

Answer 1

उसे याद रखो $j_{\mathcal U}(\kappa)$ स्थिर फ़ंक्शन के अल्ट्रापॉवर में समतुल्य वर्ग) (संक्रमणीय पतन के तहत छवि) है $c$ मूल्य के साथ $\kappa$। तो, लॉस के प्रमेय द्वारा, जो साबित करने की आवश्यकता है वह है$|id_{\mathcal U}(a)|<c(a)$ के लिये $\mathcal U$-लगभग सभी $a\in\mathcal P_\kappa(\alpha)$। अर्थात्,$|a|<\kappa$ लगभग सभी के लिए $a$। लेकिन यह असमानता वास्तव में सभी के लिए सही है$a\in\mathcal P_\kappa(\alpha)$की परिभाषा द्वारा $\mathcal P_\kappa(\alpha)$।