क्यूएफटी में कूलम्ब क्षमता का फूरियर ट्रांसफॉर्म
मैं कण भौतिकी का मास्टर छात्र हूं और मैं कौलम्ब क्षमता को खोजना चाहता हूं $V(r)$ से $\tilde{V}(p)$में श्वार्ट्ज-क्वांटम फील्ड थ्योरी और मानक मॉडल क्या मैं के रूप में है$\tilde{V}(p)$ 16.58 संबंध से: $$ \tilde{V}(p)= \frac{e_{R}^{2}}{p_{\mu}p^{\mu}}\tag{16.58} $$ कौन कौन से $e_{R}$ नाम का आरोप लगाया गया है। मुझे क्या करना है $V(r)$ है: $$ V(r)=\int^{\infty}_{-\infty} \frac{d^{4}p}{(2\pi)^4} e^{ip_{\mu}x^{\mu}}\tilde{V}(p)=\int\frac{ d_{0}p d^3p}{(2\pi)^{4}}e^{ip_{0}t-ipxcos\theta}\frac{1}{p_{0}^{2}-p^{2}} $$ और पहले ले लो $d_{0}p$ ऊपरी समोच्च और पर: $$ \int d_{0}p e^{ip_{0}t}\frac{1}{(p_{0}-p)(p_{0}+p)}=i \pi (\frac{e^{ipt}}{2p}-\frac{e^{ipt}}{2p}) $$ तोह फिर: $$ V(r)=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^{4}}e^{-ipxcos\theta}i \pi (\frac{e^{ipt}}{2p}-\frac{e^{ipt}}{2p}) $$ लिखो $d^{3}p=p^{2}dp d\phi dcos(\theta)$ अपने पास: $$ V(r)=\int\frac{p^{2}dp d\phi dcos(\theta)}{(2\pi)^{4}}e^{-ipxcos\theta}i \pi (\frac{e^{ipt}}{2p}-\frac{e^{ipt}}{2p}) $$ लेना $dcos(\theta)$ अभिन्न और हमें मिला: $$ \int^{1}_{-1} e^{-ipxcos(\theta)} dcos(\theta) = \frac{i}{px}(e^{-ipx}-e^{ipx}) $$ वापस अभिन्न और अंत में हमें मिला: $$ V(r)=\int^{\infty}_{0}\frac{p^{2}dp}{(2\pi)^{3}}i \pi (\frac{e^{ipt}}{2p}-\frac{e^{ipt}}{2p})\frac{i}{px}(e^{-ipx}-e^{ipx})=\frac{1}{16\pi^{2}x}(\int^{\infty}_{-\infty} dp e^{ip(x+t)}-\int^{\infty}_{-\infty}dp e^{ip(t-x)}) $$ जो भिन्न है और यह नहीं है $V(r)=\frac{-e_{R}^{2}}{4\pi r}$ क्या कोई मेरी मदद कर सकता है जहाँ मैं गलती करता हूँ और मुझे रास्ता दिखाता है?
जवाब
खबरदार कि आप 3 डी फूरियर अंतरिक्ष में पीछे की ओर परिवर्तन करने की आवश्यकता होगी - फोटॉन क्षेत्र के लिए $p^2 = 0$, इस प्रकार से शुरू करने के लिए आपकी मूल अभिव्यक्ति बहुत मायने नहीं रखती है। इसके अलावा, शास्त्रीय कूलम्ब क्षेत्र समय पर निर्भर नहीं करता है, जो 3 डी परिवर्तन के लिए एक और संकेत में है।
श्वार्ट्ज की पुस्तक में, यह चौ। ३.४.२ (कूलम्ब क्षमता)।
उसके परिणामों का पुन: परीक्षण करना:
$$ V(r) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{e_R^2}{p^2} = \int \frac{e^2_R}{(2\pi)^3} e^{-ipr\cos\theta} \sin\theta \, d\theta d\phi dp = \frac{e^2_R}{(2\pi)^2} \frac{1}{ir}\int^\infty_0 dp \frac{e^{ipr}-e^{-ipr}}{p} = \frac{e_R^2}{4\pi r} $$
जहां अंतिम चरण में मैंने डरिकलेट अभिन्न के ज्ञात परिणाम का उपयोग किया है:
$$ \int^\infty_0 \frac{e^{iz}}{z}dz = i \frac{\pi}{2} $$
उम्मीद है की यह मदद करेगा।