लगभग हर जगह शून्य कार्यों के अनुक्रम का एकरूप अभिसरण

Question

लश्कर $B([a , b])$ एक बंद सीमा अंतराल से बंधे और औसत दर्जे के कार्यों का स्थान हो $[a , b]$ जांच $\mathbb R$सुपर मानक के साथ संपन्न। मुझे पता है कि यह एक Banach जगह है।

अब निम्नलिखित वेक्टर उप-संख्या पर विचार करें $B([a , b])$:

$$L_{0} = \{ f : [a , b] → R │ f = 0 \text{ almost everywhere} \}$$

कैसे दिखाऊं वो $L_{0}$ का एक बंद उप-समूह है $B([a , b])$।

मेरा प्रयास इस प्रकार है:

लश्कर $f \in B([a , b])$ की एक सीमा बिंदु हो $L_{0}$। फिर एक क्रम है$( f_{n} )$ में $L_{0}$ ऐसा है कि $f_{n} → f$ समान रूप से और इसलिए $f_{n} (x) = f (x)$ सबके लिए $x \in [a , b]$। अब कब से$f_{n} = 0$ ae सभी के लिए $n\in\mathbb N$ और चूंकि पूर्ण माप उपसमुच्चय का गणनीय प्रतिच्छेदन इसलिए पूर्ण माप उपसमुच्चय है $f = 0$is गलत होने पर किसी भी सुधार की बहुत प्रशंसा होती है। किसी भी मदद के लिए धन्यवाद।

Answer 1

लश्कर $(f_n)\in L_0^{\mathbb N}$ का एक क्रम $L_0$ यह एक फ़ंक्शन में परिवर्तित होता है $f$। विशेष रूप से,$f_n(x)\to f(x)$ ae और इस प्रकार $f=0$ इसलिए, $L_0$ क्रमिक रूप से बंद है और इस प्रकार बंद है।