लैंग के स्नातक विश्लेषण में शकरची के 1.3.4 के प्रमाण की व्याख्या

Question

मैं वर्तमान में लैंग के अंडरग्रेजुएट विश्लेषण के माध्यम से काम कर रहा हूं, और रामी शकरची को निम्नलिखित के प्रमाण को समझने की कोशिश कर रहा हूं:

लश्कर $a$ एक सकारात्मक पूर्णांक ऐसा हो $\sqrt a$तर्कहीन है। लश्कर$\alpha = \sqrt a$। दिखाएँ कि एक संख्या मौजूद है$c > 0$ ऐसे सभी पूर्णांकों के लिए $p, q$, साथ में $q > 0$ हमारे पास है $\mid q \alpha - p \mid > c/q$।

मैंने नीचे शकरची के प्रमाण का स्क्रीनशॉट जोड़ा:

इस प्रमाण के बारे में मेरी समझ इस प्रकार है:

लैंग द्वारा दिए गए सुझाव को तर्कसंगत बनाना है $q \alpha - p$, यानी उत्पाद ले लो $(q\alpha - p)(-q\alpha - p)$। ऐसा करने से पैदावार मिलती है

$(q\alpha - p)(-q\alpha - p) = -q^2 a + p^2$

याद $q, a, p \in \mathbb{Z}$, साथ में $q > 0$ और भी $\sqrt a \notin \mathbb{Q}$, विशेष रूप से $a \neq 0$। फिर$\mid(q\alpha - p)(-q\alpha - p)\mid \geq 1 \leftrightarrow \mid q\alpha - p\mid \geq \frac{1}{\mid -q\alpha - p\mid} = \frac{1}{\mid q\alpha + p\mid}$

जहां मैं कुछ हद तक नीचे गिरता हूं वह अगले भाग में है - हम चुनते हैं $c$ ऐसा है कि $0 < c < \text{min}(\mid\alpha\mid, \mid\frac{1}{3\mid\alpha\mid})$। मुझे लगता है हम चुनते हैं$c$ इस तरह से जहां मामले को संभालने के लिए $\mid \alpha \mid < 1$ ताकि $\frac{1}{3\mid\alpha\mid} > 1$। अगर ऐसा है, तो हम वास्तव में किसी भी सकारात्मक को चुन सकते हैं$\mid \alpha \mid$ दानव में, यानी $\frac{1}{2\mid\alpha\mid}$ या $\frac{1}{4\mid\alpha\mid}$ बस के रूप में अच्छी तरह से काम करेगा।

अब, प्राप्त परिणाम का उपयोग कर $\textbf{1}$ और हमारी परिकल्पना, हम असमानता को अंदर स्थापित करते हैं $\textbf{2}$। मैं इस बात के लिए नुकसान में हूं कि सबसे बाईं असमानता कैसे प्राप्त होती है - मुझे पता है कि परिकल्पना के द्वारा$\mid \alpha - p/q \mid < \mid \alpha\mid$ और हम जोड़ते हैं $\mid 2\alpha \mid$ दोनों पक्षों को सही असमानता प्राप्त करने के लिए।

फिर अंतिम असमानता में, यह मेरे लिए अस्पष्ट है कि हम कैसे जानते हैं $\frac{1}{3\mid \alpha \mid q} < \frac{1}{\mid q\alpha + p \mid}$।

मैं इन दो बिंदुओं के उत्तर की तलाश में हूं:

1. ऊपर बताए गए चरणों के लिए एक स्पष्टीकरण अस्पष्ट होने के रूप में उल्लिखित है, यानी की पसंद $c$ (हम क्यों चुनते हैं? $0 < c < \text{min}(\mid\alpha\mid, \mid\frac{1}{3\mid\alpha\mid})$), में सबसे बाईं असमानता $\textbf{2}$, और बीच की असमानता $\textbf{3}$।
2. यह प्रमाण मेरे लिए काफी अचूक था - मैंने इसे तर्कसंगत बनाने पर भी विचार नहीं किया $q \alpha - p$जब मैं पहली बार इस समस्या पर काम कर रहा था। मैं कल्पना करता हूं कि इस तरह की प्रैक्टिस वर्किंग प्रॉब्लम्स के साथ देखने में आपको अच्छी लगती है। फिर भी, क्या संभवतः एक सरल या अधिक प्रत्यक्ष प्रमाण है?

Answer 1

यह त्रिभुज असमानता है

$|\alpha + \frac pq| = |2\alpha - \alpha +\frac pq| \le |2\alpha| + |-\alpha + \frac pq|=|2\alpha| + |\alpha -\frac qp| < |2\alpha| + |\alpha|=3|\alpha|$

इसका कारण है $3$ चुना गया था क्योंकि: हमें प्राप्त करने की आवश्यकता है $|\alpha -\frac pq|$किसी चीज से बड़ा। लेकिन अगर$|\alpha-\frac pq|< |\alpha|$ हम इसे सीधे प्राप्त नहीं कर सकते क्योंकि हम केवल जानते हैं $|\alpha-\frac pq|$किसी चीज से छोटा है। इसके बजाय हमें साथ काम करना होगा$|\alpha + \frac pq|$किसी चीज से बड़ा होना। लेकिन हम कैसे रूपांतरित हो सकते हैं$|\alpha + \frac pq|$ कुछ शामिल करने के लिए $|\alpha -\frac pq|$? खैर जिस तरह से उन्होंने यह किया था$|\alpha + \frac pq| = |2\alpha - (\alpha - \frac pq)|$। लेकिन यह दो अतिरिक्त है$\alpha$कार्यों में है।

"यह मेरे लिए अस्पष्ट है कि हम कैसे जानते हैं$\frac{1}{3\mid \alpha \mid q} < \frac{1}{\mid q\alpha + p \mid}$"

खैर, आपके पास है $|\alpha + \frac pq| < 3|\alpha|$

इसलिए $q|\alpha + \frac pq| < 3|\alpha|q$

$0< |q\alpha + p| < 3|\alpha|q$

$\frac 1{3|\alpha| q} < \frac 1{|q\alpha + p|}$।

Answer 2

में एकदम बाएँ असमानता 2 मुझे थोड़ी ले लिया भी यह पता लगाने की :)

यह त्रिकोण असमानता है:

$$|a|+|b| \geq |a+b| \,.$$

3 में मध्य असमानता केवल 2 से समग्र असमानता है ।

की पसंद $c$ और अधिक लचीला हो सकता है, लेकिन मुझे लगता है कि 3 का उपयोग करना उपरोक्त सभी को रद्द करता है और अधिक अच्छी तरह से काम करता है।