लश्कर $ a$एक निश्चित प्राकृतिक संख्या हो। साबित होता है कि के प्रमुख विभाजकों का सेट $ 2^{2^{n}} + a$ के लिये $ n = 1,2,\cdots$ अनंत है

Question

$\textbf{Question:}$लश्कर $ a$एक निश्चित प्राकृतिक संख्या हो। साबित होता है कि के प्रमुख विभाजकों का सेट$ 2^{2^{n}} + a$ के लिये $ n = 1,2,\cdots$ अनंत है।

मुझे पता चला है कि यह समस्या "कोबायाशी के प्रमेय" से आसानी से होती है। लेकिन वह शायद प्रतियोगिता-गणित की स्थिति पर कोई अंक नहीं देगा।

इसके अलावा, मुझे लगता है कि हमें यूक्लिड के बारे में किसी भी तरह के विचार का उपयोग करने की आवश्यकता होगी, जो कि अपराधों की असीमता का प्रमाण है। लेकिन यह बहुत पेचीदा लगता है। मैं शायद ही इस समस्या में कोई प्रगति कर सका। तो, किसी भी तरह के संकेत या समाधान की सराहना की जाती है। अग्रिम में धन्यवाद।

Answer 1

मान लें कि निश्चित संख्या के साथ हमें फॉर्म का एक संयुक्त भाग मिलता है $N=2^{2^n}+a$जिसमें कुछ प्रमुख भाजक हैं। यदि हम साबित करते हैं कि ये कंपोजिट असीम रूप से बहुत से हैं तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि निश्चित ए के लिए एन के प्रमुख विभाजकों की संख्या अनंत है (यह वही है जो सवाल पूछ रहा है, अगर मैंने इसे सही तरीके से समझा)।

मुझे यह प्रमेय Sierpinski की एक संख्या सिद्धांत पुस्तक में मिला। इसका प्रमाण ए। शिंटज़ेल ने दिया है।

प्रमेय: प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए $k ≠ 1$ वहाँ असीम रूप से कई प्राकृतिक संख्याएँ मौजूद हैं जैसे n कि संख्या $2^{2^n}+k$ समग्र है।

प्रमाण:

आज्ञाकारी प्राकृतिक संख्या हो और k एक पूर्णांक को असमान एकता दें $k-1=2^s h$ कहाँ पे $2^s$ की सबसे बड़ी शक्ति है $2$ जो बंट जाता है $k-1$और h एक विषम संख्या है जो सकारात्मक या नकारात्मक हो सकती है। ऐसे मी ले लो$2^{2^m}>a-k$ और संख्या ऐसी है कि $t≥s$ और भी $t≥m$। अगर$2^{2^t}+k≥2^{2^m}+k> a$ संयुक्त है, तो हमारे पास फॉर्म में एक समग्र संख्या है $2^{2^n}+k$एक से अधिक। तो हम मान लेते हैं$p=2^{2^t}+k$प्रमुख है। जबसे$t≥s$ तथा $k-1=2^sh$, तो हमारे पास हैं:

$p-1=2^{2^t}+k-1=2^sh_1$

कहाँ पे $h_1$ एक सकारात्मक विषम संख्या है। अब यूलर की प्रमेय के कारण हमारे पास है:

$2^{\phi(h_1)} ≡ 1 \ mod (h_1)$

जबसे $p-1=2^s h_1$, फिर:

$2^{s+\phi(h_1)}≡ 2^s \ mod (p-1)$

जबसे $t≥s$ , हमें मिला:

$2^{t+\phi(h_1)}≡ 2^t \ mod (p-1)$

अंत में Fermat की छोटी प्रमेय के कारण हमारे पास है:

$2^{2^{t+\phi(h_1)}}+k ≡ 2^{2^t}+k≡ 0 \ mod (p)$

जबसे $2^{t+\phi(h_1)}> 2^t$ तो हम लिख सकते हैं:

$2^{2^{t+\phi(h_1)}}+k>2^{2^t}+k=p$

इसलिए नंबर $2^{2^{t+\phi(h_1)}}+k$ एक से अधिक एक समग्र हो जाएगा, क्योंकि:

$p=2^{2^t}+k≥2^{2^m}+k > a$

प्रमाण किया जाता है।