लेवी की निरंतरता प्रमेय का उपयोग करके वितरण में अभिसरण की प्रक्रिया
मैं निम्नलिखित प्रश्न को हल करने की कोशिश कर रहा हूं - भागों (ए) और (बी) संरचना में बहुत समान प्रतीत होते हैं, लेकिन मैं भाग (बी) को हल नहीं कर सकता:
मेरा प्रयास:
भाग (ए) के लिए, हम लेवी की निरंतरता प्रमेय लागू करते हैं। ठीक कर$u \in \mathbb{R}$ और ध्यान दें $$E\left(\exp\left(i\frac{uY_t}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) = E\left(\sum_{n=0}^\infty \mathbf{1}(N_t = n)\exp\left(i\frac{u \sum_{k=1}^n X_M(k)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) \\ = \sum_{n=0}^\infty \frac{e^{-t}t^n}{n!}E\left(\exp\left(i\frac{u \sum_{k=1}^n X_M(k)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) \\ = e^{-t}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\left(t E\left(\exp\left(i\frac{u X_M(1)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right)\right)^n \\ = \exp \left(-t + t E\left(\exp\left(i\frac{u X_M(1)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right)\right)$$
की स्वतंत्रता से $N_t$ और यह $X_M(k)$ और दूसरी समानता के लिए राशि और अपेक्षा को बदलने के लिए वर्चस्व वाले अभिसरण को लागू करना और की iid संपत्ति द्वारा $X_M(k)$तीसरे के लिए। हम केवल अब के लिए प्रतिपादक के साथ सौदा करेंगे, और आशुलिपि के लिए हम परिभाषित करते हैं$Z \equiv X_M(1)$:
$$-t + tE\left(\exp\left(i\frac{u Z}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) = -t + tE\left(\sum_{j=1}^\infty \frac{i^j u^j Z^j}{\sigma_M^j t^{j/2} j!} \right) \\ = -t + t\left(1 + 0 + \frac{i^2E(Y^2)u^2}{2\sigma_M^2 t} + \sum_{j=3}^\infty \frac{i^j u^j E(Z^j)}{\sigma_M^j t^{j/2} j!} \right) $$ जहां हम फिर से डीसीटी लागू करते हैं और ध्यान दें कि वितरण के समरूपता के लिए $Z$ यह उम्मीद है कि 0 है।
$$= -\frac{u^2}{2} + \frac{1}{\sqrt{t}} \sum_{j=3}^\infty \frac{c^j E(Z^j)}{j!} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}} \quad \quad \quad \textbf{(L)}\\ \xrightarrow{t \rightarrow \infty} -\frac{u^2}{2}$$
कहां है $c = \frac{i u}{\sigma_M}$। हर एक के लिए$t \ge 1$ और ऊपर दिए गए योग में मापांक (बाउंड) है $\exp(|c|M)$ उदाहरण के लिए), इस प्रकार विशेषता फ़ंक्शन के अभिसरण को औचित्य देना $N(0,1)$ और हम भाग (ए) का समापन कर सकते हैं।
भाग (बी) के लिए, मैं वही काम करने की कोशिश कर रहा हूं, जिसमें स्पष्ट रूप से गणना की आवश्यकता होगी $\sigma_M$चूँकि हमने उस भाग (a) में इसका उपयोग नहीं किया था। यह तुच्छ रूप से दिखाया गया है (संक्षिप्तता के लिए)$\Delta \equiv \arctan(M) - \arctan(-M)$) $$\sigma_{M(t)} = \sqrt{E(X_{M(t)}(1)^2)} = \sqrt{\frac{2M - \Delta}{\pi\Delta}}$$
मेरा मानना है कि लाइन (एल) के बाद अभिसरण अगर और केवल अगर पकड़ सकता है$$\sum_{j=3}^\infty \frac{c^j E(Z^j)}{j!} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}} \xrightarrow{t \rightarrow \infty} 0$$ मैंने योग के मापांक को फिर से लिखने की कोशिश की है जिसमें सभी जानकारी शामिल है $\sigma_{M(t)}$, यानी के बराबर होने के नाते $$\lvert\sum_{j=3}^\infty \frac{c^j E(Z^j)}{j!} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}}\rvert \leq \sum_{j=3}^\infty \frac{u^j}{j!} \left(\frac{M(t)^2\pi \Delta}{2M-\Delta}\right)^{j/2} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}} $$मुझे नहीं पता कि यह निष्कर्ष यहाँ से कैसे बनाया जा सकता है। कृपया मदद करें यदि आप कर सकते हैं - मैंने इस पर समय की एक बेवकूफ राशि बर्बाद की है।
जवाब
यह देखते हुए कि एक निरंतर मौजूद है $C > 0$ जिसके लिए
$$ \left| e^{ix} - \left( 1 + ix - \frac{x^2}{2} \right) \right| \leq Cx^3 \tag{*} $$
सभी के लिए रखती है $x \in \mathbb{R}$, अपने पास
\begin{align*} &\left| t \mathbb{E}\left[\exp\left(\frac{iuX_M}{\sigma_M\sqrt{t}}\right)\right] - \left(t - \frac{u^2}{2} \right) \right| \\ &\leq \frac{C u^3}{\sigma_M^3 \sqrt{t}} \mathbb{E}\bigl[|X_M|^3\bigr] \leq \frac{C u^3}{\sigma_M^3 \sqrt{t}} \mathbb{E}\bigl[M X_M^2\bigr] \leq \frac{C M u^3}{\sigma_M \sqrt{t}}. \end{align*}
अब उस पर ध्यान देने से
$$ \sigma_M \sim \frac{M}{\sqrt{3}} \quad\text{as}\quad M\to 0^+ \qquad\text{and}\qquad \sigma\sim\sqrt{\frac{2}{\pi}M} \quad\text{as}\quad M\to\infty,$$
हम इस अंतर को आगे बढ़ा सकते हैं
$$ \left| t \mathbb{E}\left[\exp\left(\frac{iuX_M}{\sigma_M\sqrt{t}}\right)\right] - \left(t - \frac{u^2}{2} \right) \right| \leq C_2u^3 \frac{\max\{1,\sqrt{M}\}}{\sqrt{t}} $$
एक निरपेक्ष के लिए $C_2 > 0$। चूंकि यह बाउंड कंवर्ट होता है$0$ जैसा $t \to \infty$ पर धारणा द्वारा $M$, वांछित निष्कर्ष इस प्रकार है।
परिशिष्ट।
मेरा मानना है कि $\pi$ के हर में $\text{(5)}$एक टाइपो है। सही फॉर्मूला होगा$$ f_{X_M}(x) = \frac{1}{2\arctan(M)} \frac{\mathbf{1}_{\{|x| \leq M\}}}{1+x^2}. $$
की वैधता $\text{(*)}$ गंभीर रूप से प्रतिबंध पर टिका है $x \in \mathbb{R}$, और इसलिए, इसे सीधे बिजली श्रृंखला विस्तार से प्राप्त नहीं किया जा सकता है। हालांकि, टेलर सन्निकटन में शेष शब्द के लिए एक स्पष्ट सूत्र का उपयोग करके यह साबित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, हम उपयोग कर सकते हैं$$ e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{2i} \int_{0}^{1} (1-s)^2 e^{ixs} \, \mathrm{d}s, $$ इस प्रकार साबित हो रहा है $\text{(*)}$ साथ से $C = \frac{1}{6}$।