मैं औपचारिक रूप से प्रतीकों के साथ यूक्लिडियन स्थान कैसे लिख सकता हूं?

Question

एक अंतरिक्ष एक क्रमबद्ध टपल है, जहां पहला तत्व एक सेट है और निम्नलिखित तत्व जोड़े गए संरचना का वर्णन कर रहे हैं, जैसे $(X, m)$ एक मीट्रिक स्थान के लिए, $(X, \tau)$एक टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए। यूक्लिडियन अंतरिक्ष के लिए निम्नलिखित तत्व क्या हैं?

जहां तक ​​मेरी समझ है हमें जरूरत है

• $X=\mathbb R^n$ वास्तविक संख्याओं के सभी n-tuples का सेट है (के साथ) $n\in\mathbb N$)
• हम के तत्वों की जरूरत है $X$ वैक्टर होने के लिए - अदिश गुणा के साथ रैखिक रूप से गठबंधन करने में सक्षम $\times$, मैदान $F$ और इसके अलावा $+$।
• एक डॉट उत्पाद $\cdot$ के तत्वों के बीच $X$।
• के तत्वों के लिए एक आदर्श $X$। क्या यह स्वाभाविक रूप से डॉट उत्पाद में शामिल है या क्या मुझे स्पष्ट रूप से सटीक बताने की आवश्यकता है? क्या मुझे अतिरिक्त की आवश्यकता नहीं है "$-$"? http://faculty.cord.edu/ahendric/2008Fall210/subsub.pdf पता चलता है कि यह भी "में शामिल है$+$"।
• की पूर्णता $X$ (यह स्वाभाविक रूप से इस तथ्य में शामिल है कि $X=\mathbb R^n$?)
• एक मीट्रिक (मुझे लगता है कि यह भी स्वाभाविक रूप से आदर्श और तथ्य में शामिल है कि के तत्व $X$ वैक्टर हैं, ठीक है?)

उससे मैं अनुमान लगाता हूं कि यूक्लिडियन स्पेस है $(\mathbb R^n, \cdot, +, F, \times)$। संभवतः मुझे भी "$-$"।

तो: मैं औपचारिक रूप से प्रतीकों के साथ यूक्लिडियन स्थान कैसे लिख सकता हूं?

Answer 1

आपने अपने प्रश्न में पहले से ही एक यूक्लिडियन स्थान लिखा है: $\mathbb{R}$।

केवल एक चीज जो मैं सोच सकता हूं कि आप इसे शामिल करना चाहते हैं वह है आपका मीट्रिक। कहो$(\mathbb{R},d)$ एक मीट्रिक स्थान है और d को परिभाषित करता है, जो किन्हीं दो बिंदुओं की दूरी है।

मैट्रिक्स के लिए याद रखने के लिए कुछ स्वयंसिद्ध हैं:

1. $d(x,x)=0$

2. $d(x,y)>0$

3. $d(x,y)=d(y,x)$

4. $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (त्रिकोण असमानता कहा जाता है; एक सही त्रिकोण के बारे में सोचो, और आप एक विकर्ण लाइन में चलते हैं जहां आपको जाने की आवश्यकता होती है)

ऐसे कई मैट्रिक्स हैं जिन्हें हम किसी स्पेस के लिए परिभाषित कर सकते हैं $\mathbb{R^2}$, असली विमान; सबसे आम है$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

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संपादित करें:

मुझे लगता है कि आपको कुछ टोपोलॉजी सीखने की जरूरत होगी। कार्टेशियन उत्पाद अधिक सामान्य अवधारणा का केवल एक उदाहरण है जो उत्पाद स्थान है। टोपोलॉजी में हम निरंतरता और खुले सेट पर चर्चा करते हैं (वे सभी समान नहीं हैं)। कहो$X,Y$ स्थलाकृतिक स्थान हैं, और सेट, $U_{X_i}$ तथा $V_{Y_i}$ उनके संबंधित टोपोलॉजी में खुले हैं।

हम उत्पाद स्थान पर टोपोलॉजी को परिभाषित करते हैं $X\,\,x\,\, V$केवल यह कहकर कि यह अन्य दो स्थानों की टोपोलॉजी "विरासत में" है। का एक सबसेट$X\,\,x\,\, V$ खुला है अगर एक ही अगर $U\subset X$ तथा $V\subset Y$दोनों खुले हैं। यह हमारे मानक मीट्रिक रिक्त स्थान के लिए ठीक उसी तरह लागू होता है, लेकिन इसके बजाय उत्पाद स्थान मीट्रिक को विरासत में मिलेगा, जिसे हमें इस बात का विचार दिया जा सकता है कि हमें "ओपन" क्या है!