मैं इस द्विवार्षिक निश्चित अभिन्न का मूल्यांकन क्यों नहीं कर सकता?

Question

मैं निम्नलिखित द्विभाजित निश्चित अभिन्न के सटीक मूल्य को खोजने के लिए सीधे x फ़ंक्शन का उपयोग करना चाहता हूं:

reg = ImplicitRegion[x^2 + y^2 <= 1 && x >= 0, {x, y}];
(* the answer should be π/2*Log[2] *)
Integrate[(1 + x*y)/(1 + x^2 + y^2), Element[{x, y}, reg]]

यह द्विभाजित अभिन्न जटिल नहीं है, लेकिन उपरोक्त सूत्र जैसा है वैसा ही लौटता है। मैं जानना चाहता हूं कि समस्या कहां है और मुझे इसे कैसे संशोधित करना चाहिए।

NIntegrate[(1 + x*y)/(1 + x^2 + y^2), Element[{x, y}, reg]]
(*1.08879304515*)

Answer 1

Integrate[(1 + x*y)/(1 + x^2 + y^2), {x, y} ∈ Disk[{0, 0}, 1, {-π/2, π/2}]]

Answer 2

एक बस एक वैकल्पिक क्षेत्र विनिर्देश का उपयोग कर सकता है:

reg = RegionIntersection[Disk[], HalfPlane[{0, 0}, {0, 1}, {1, 0}]];
Integrate[(1 + x y)/(1 + x^2 + y^2), {x, y} ∈ reg]
   1/2 π Log[2]

या ध्रुवीय निर्देशांक पर स्विच करें:

Simplify[((1 + x y)/(1 + x^2 + y^2) /. Thread[{x, y} -> r AngleVector[θ]])
         Det[D[r AngleVector[θ], {{r, θ}}]]]
   (r + r^3 Cos[θ] Sin[θ])/(1 + r^2)

Integrate[(r + r^3 Cos[θ] Sin[θ])/(1 + r^2), {r, 0, 1}, {θ, -π/2, π/2}]
   1/2 π Log[2]