मैट्रिक्स की ज्यामितीय व्याख्या $A-B$
क्या एक विशेष मामले के साथ, दो मैट्रिसेस के घटाव की ज्यामितीय व्याख्या है $I -A$ (पहचान मैट्रिक्स से एक मैट्रिक्स का घटाव)?
संदर्भ: यदि $A$ एक आदर्श मैट्रिक्स है, की श्रेणी $A$ और की सीमा $I-A$निराशाजनक सेट हैं। इसे ज्यामितीय रूप से समझने की कोशिश की जा रही है।
यदि कोई भी ज्यामितीय रूप से मैट्रिक्स घटाव के सामान्य मामले की व्याख्या कर सकता है, तो यह एक अच्छी मदद होगी।
जवाब
मुझे नहीं लगता कि इसके लिए एक सामान्य उत्तर है $A-B$, लेकिन के मामले में $I-A$, के मामले में अधिक सटीक है $Q=I-P$ कहाँ पे $P$ एक निश्चित उप-स्थान पर एक ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन मैट्रिक्स (यानी, एक शानदार मैट्रिक्स है) $S$, फिर $Q=I-P$ ऑर्थोगोनल पूरक पर ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण है $S^{\perp}$ का $S$।
उदाहरण के लिए, 3 डी में, लाइन पर विचार करें $S$ समीकरणों के साथ $x=y=z$आदर्श इकाई वेक्टर के साथ $v=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$। ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन मैट्रिक्स पर$S$ रैंक-वन मैट्रिक्स है (रैंक एक क्योंकि रेंज स्पेस एक-आयामी है):
$$P=vv^T=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}=\frac13\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$$
तथा
$$I-P=\frac13\begin{pmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix}$$
विमान पर ओर्थोगोनल प्रक्षेपण है $S^{\perp}$ के लिए orthogonal $S$ समीकरण के साथ $x+y+z=0$, (रैंक -2 मैट्रिक्स के साथ, क्योंकि रेंज स्पेस अब 2-आयामी है)।