मानचित्रण का समय व्युत्पन्न $t \mapsto P_tf(x)=\mathbb{E}^x(f(X_t))$ - शिशु जनित जनित्र

Question

क्या कोई कृपया समीकरण की व्याख्या कर सकता है $1$ इसमें https://math.stackexchange.com/a/697412/767953सरल रूप में? इसके अलावा मैं यह नहीं समझ सकता कि समीकरण से कैसे$1$ हम देख सकते हैं कि $u$ गर्मी समीकरण का समाधान है।

Answer 1

संकेत

\ start {align} \ frac {\ mathrm d} {\ _ mathrm dt} P_tf (x) & = \ lim_ {h \ _ 0} \ _ frac {P_ {t + h} f (x) - p_tf (x)} {h} \\ & = \ lim_ {h \ _ 0} P_t \ left (\ frac {P_hf (x) -f (x)} {h} \ सही) \\ & = P_t \ left (\ lim_ {h) \ _ 0} \ frac {P_hf (x) -f (x)} {h} \ right) \\ & = P_tAf (x) \\ & = AP_tf (x)। \ end {संरेखित} मैं आपको एक होमवर्क के रूप में प्रत्येक समानता को सही ठहराने देता हूं। आपके अन्य प्रश्न के लिए, कोई यह साबित कर सकता है कि यदि ब्राउनियन गति का इन्फिनिटिसिमल जेनरेटर दिया गया है$$Af(x)=\frac{1}{2}\Delta f(x).$$ यह एक होमवर्क के रूप में करें यदि यह आपके लिए स्पष्ट नहीं है।