में Brouwer के निश्चित बिंदु प्रमेय को साबित करना $\mathbb{R}$

Question

ब्रोवर के निश्चित बिंदु प्रमेय का कहना है कि कोई भी निरंतर कार्य$f$ एक कॉम्पैक्ट उत्तल सेट मानचित्रण $\mathbb{\Omega}$अपने आप में एक निश्चित बिंदु है। दूसरे दिन मैं एक पॉप-विज्ञान पत्रिका में एक टुकड़ा पढ़ रहा था, जिसमें प्रमेय को साबित करने के लिए कहा गया था$\mathbb{R}$। मुझे यह मिल गया: क्या आप इसकी पुष्टि कर सकते हैं कि क्या यह सही है, और यदि ऐसा नहीं है, तो मुझे एक वैध प्रमाण खोजने में मदद करें? इसके अलावा, यदि आपके पास अधिक सुरुचिपूर्ण प्रमाण है, तो मुझे इसके बारे में सुनना अच्छा लगेगा। धन्यवाद!

में एक कॉम्पैक्ट उत्तल सेट $\mathbb{R}$ एक बंद अंतराल है, इसलिए मुझे यह साबित करने की आवश्यकता है $\mathbb{\Omega}=[a,b]$। अब, आइए विचार करें$g(x)=f(x)-x$, जो निरंतर भी है। हमारा मानना ​​है$g(a)\cdot g(b)\neq0$, अन्यथा हमने पहले से ही एक निश्चित बिंदु पाया। बेशक, हमारे पास होना चाहिए$g(a)>0$, अन्यथा हमारे पास होता $f(a)<a$ जो परिकल्पना का खंडन करता है $f$ एमएपीएस $[a,b]$अपने आप में। इसी तरह, हमारे पास होना चाहिए$g(b)<0$। जबसे$g(a)\cdot g(b)<0$, फिर बोलजानो के प्रमेय से कम से कम एक है $x_0\in[a,b]$ ऐसा है कि $g(x_0)=0\implies f(x_0)=x_0\ \square$

Answer 1

हां, आपका प्रमाण सही है।

यह एक मानक प्रमाण है। यह विकिपीडिया लेख में एक है ।