में एक विशिष्ट रेखा की कक्षा और स्टेबलाइजर ढूँढना$\mathbb{R^2}$

Aug 17 2020

होने देना$G=GL(2,\mathbb{R})$, जो सभी इन्वर्टिबल 2 बटा 2 वास्तविक मैट्रिसेस का समूह है।

होने देना$G$के बिन्दुओं पर कार्रवाई करें$\mathbb{R}^2$मैट्रिक्स गुणन द्वारा। की क्रिया पर विचार करें$G$में सीधी रेखाओं पर$\mathbb{R}^2$उत्पत्ति के माध्यम से।

यदि$L$रेखा है$y=2x$, वह है,$L=\{(x,2x) :x \in \mathbb{R}\}$, पाना$G(L)$तथा$G_L$.

यहां$G(L)$कक्षा है, और$G_L$स्टेबलाइजर है। मैं द्वारा निरूपित करूँगा$X$मूल से गुजरने वाली सीधी रेखाओं का समूह।

यह प्रश्न मुझे भ्रमित करता है, क्योंकि:

मुझे ऐसा लगता है कि कार्रवाई का दो बार वर्णन किया जा रहा है और लगातार नहीं।
मैं समूह क्रियाओं के लिए नया हूँ, हालाँकि मुझे लगता है कि मैं परिभाषाओं को अच्छी तरह समझता हूँ।
मैंने कभी नहीं देखा$GL(2, \mathbb{R})$पहले लेकिन मैं समझता हूं कि यह अनंत है।
मेरे पास केली के प्रमेय और ऑर्बिट स्टेबलाइजर प्रमेय हैं। हालांकि,$|G| \notin \mathbb{N}$. OST के लिए मैंने जो प्रमाण देखा, वह अनंत सेटों के मामले में प्रतीत होता है, हालाँकि मुझे यकीन नहीं है कि जब दोनों बेशुमार रूप से अनंत हों, तो गुणा करने वाली कार्डिनैलिटी के साथ 'काम' कैसे करें। मुझे लगता है कि मुझे इस मामले में या तो नहीं करना है।
मेरे पास वास्तव में कार्रवाई नहीं है! इसके अलावा, यह मेरी समझ है कि कक्षा और स्टेबलाइज़र दोनों विशिष्ट क्रिया पर निर्भर करते हैं। नहीं? यदि नहीं तो मैंने इसका प्रमाण नहीं देखा है।

यहाँ मेरा प्रयास है:

सहज रूप से मैं देख सकता हूं कि मुझे केवल निरंतर देखभाल करने की आवश्यकता है $c$में$(x, cx)$. तो हमारे पास$|G|$आपत्तियों के बारे में देखभाल करने के लिए - के बाद से$G$के लिए आइसोमोर्फिक है$\Phi (G)$कहाँ पे$\Phi$क्रिया है। एह... मैं भी वास्तव में इस पर विश्वास नहीं करता। क्योंकि मुझे नहीं पता कि क्रिया क्या है, इसलिए मुझे नहीं पता कि यह इंजेक्शन है या नहीं$\implies$मुझे नहीं पता कि यह उपसमूह के लिए आइसोमोर्फिक है या नहीं$S_X$.

मान लीजिए कि इंजेक्टिव का उपयोग करने के लिए कुछ मानक क्रिया है । फिर, खोजने के लिए$G_L$मुझे मानचित्र के सभी आक्षेपों को खोजने की आवश्यकता है$2$खुद के लिए, आपत्तियों के सेट में$\Phi(G) \cong S_X$. मेरे पास कोई सुराग नहीं है। मुझे केवल यह पता है कि यह कैसे करना है अगर मेरे पास स्पष्ट रूप से कार्रवाई है। मुझे लगता है कि यह स्पष्ट है कि मुझे यहां तर्क करने के कुछ मौलिक तरीकों की कमी है। मैं इसे सेट कॉम्प्रिहेंशन नोटेशन के साथ लिख सकता हूं लेकिन यह शायद ही कोई उत्तर है। मुझे लगता है कि सवाल अधिक स्पष्ट सेट मांग रहा है।

के लिये$G(L)$, फिर से मैं केवल यह जानता हूं कि यह कैसे करना है यदि मेरे पास वास्तव में क्रिया है।

आपके समय के लिए शुक्रिया।

जवाब

1 1123581321 Aug 17 2020 at 20:47

तो की कार्रवाई$G$इस प्रकार वर्णित है: के लिए$A=\begin{pmatrix} a \ b\\c\ d\end{pmatrix} $में$G$तथा$(x,y) \in\mathbb{R} ^2$यह है$A(x,y)=(ax+by,cx+dy)$