मीट्रिक स्पेस पर एक प्रश्न परिभाषित किया गया $\mathbb{Q}$।
विचार करें $\mathbb{Q}$सभी तर्कसंगत संख्याओं का समूह हो। परिभाषित$d(p,q)=|p-q| $। फिर निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$\{q \in \mathbb{Q} : 2<q^2<3\}$ बंद हो गया है।
$\{q \in \mathbb{Q} : 2 \leq q^2 \leq 4\}$ बंद हो गया है।
$\{q \in \mathbb{Q} : 2 \leq q^2 \leq 4\}$ कॉम्पैक्ट है।
$\{q \in \mathbb{Q} : q^2 \geq 1\}$ कॉम्पैक्ट है।
इसलिए मैं इसके बारे में सोच रहा था, जहां विकल्प 4 सच नहीं है क्योंकि यह बाध्य नहीं है। इसलिए, अनबाउंडनेस से कॉम्पैक्ट नहीं। इसलिए यदि हम दिखा सकते हैं कि यहां सेट 4 में है। और मुझे लगता है कि कोई भी 1. बंद नहीं है, क्योंकि यह पूरक है$\mathbb{Q}$ में कुछ खुला सेट संघ $\mathbb{R}$।
अन्य कथन के लिए हम सामान्य मानदंड का उपयोग कर सकते हैं कि "एक मीट्रिक स्थान कॉम्पैक्ट है यदि यह पूर्ण और पूरी तरह से बंधा हुआ है"। लेकिन मुझे ऐसा करने के लिए कुछ मदद चाहिए।
जवाब
हम 1. लिख सकते हैं $\left((\sqrt{2}, \sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}, -\sqrt{2})\right) \cap \mathbb{Q}$ जो एक वास्तविक-खुला सेट है (खुले अंतराल खुले हैं) के साथ प्रतिच्छेद किया गया है $\Bbb Q$, ताकि सेट अंदर खुला रहे $\Bbb Q$। में भी बंद है$\Bbb Q$ क्योंकि हम भी इसे लिख सकते हैं $\left([\sqrt{2}, \sqrt{3}] \cup [-\sqrt{3}, -\sqrt{2}]\right) \cap \mathbb{Q}$, जो समान कारणों से बंद है।
2 बंद है क्योंकि हम इसे लिख सकते हैं $\left([\sqrt{2}, 2] \cup [-2, -\sqrt{2}]\right) \cap \mathbb{Q}$ और इसके तत्व के रूप में $2$इसका कोई आंतरिक बिंदु नहीं है, यह खुला नहीं है।
3 के तहत सेट सिर्फ 2 के नीचे के रूप में ही है इसलिए वास्तव में बंद है, जैसा कि हमने देखा, इसलिए यह कॉम्पैक्ट हो सकता है, क्योंकि यह भी बाध्य है। लेकिन वास्तव में यह नहीं है, क्योंकि हम किसी भी तर्कहीन को चुन सकते हैं$p$ "भीतर" सेट (कहते हैं $\sqrt{3}$ करेंगे) और तर्कसंगत का एक क्रम खोजें $q_n$ सेट में जो करने के लिए अभिसरण करता है $p$ वास्तविक में (यह हमेशा किया जा सकता है)। लेकिन फिर क्रम$(q_n)_n$ कैची है (यह सब के बाद के लोकों में अभिसरण है) लेकिन इसमें अभिसरण नहीं है $\Bbb Q$(एकमात्र बिंदु के रूप में यह सेट में झूठ नहीं बोल सकता है)। इसलिए सेट कॉम्पैक्ट नहीं है। एक गहरा कारण है कि यह कॉम्पैक्ट नहीं है (जिसे आपने शायद अभी तक कवर नहीं किया है) यह है कि मीट्रिक स्पेस में सेट किए गए कॉम्पैक्ट काउंटेबल को अलग-थलग बिंदु होना चाहिए, और इस सेट में कोई भी नहीं है। लेकिन गैर-पूर्णता (या संबंधित तथ्य जो हमारे पास एक अभिसरणीय अनुक्रम के बिना अनुक्रम है) का उपयोग अधिक प्राथमिक स्तर पर कॉम्पैक्टनेस का खंडन करने के लिए किया जा सकता है।
4 के लिए, सभी मीट्रिक रिक्त स्थान में हम जानते हैं कि "$A$ कॉम्पैक्ट $\implies$ $A$बंद और बंधे हुए; हाइन-बोरेल उलटा निहितार्थ है जो सबसेट में है$\Bbb R^n$यूक्लिडियन मीट्रिक में। इसका "बल" जल्दी से कॉम्पैक्टनेस साबित करने के लिए है । लेकिन हमेशा वैध निहितार्थ का उपयोग कॉम्पैक्टनेस का आसानी से खंडन करने के लिए किया जा सकता है , और 4 एक उदाहरण है: बाध्य नहीं है इसलिए गैर-कॉम्पैक्ट किसी भी मीट्रिक स्थान में एक वैध कटौती है।
एक सेट $A$ एक मीट्रिक स्थान में कॉम्पैक्ट iff हर अनुक्रम में है $A$ अभिसरणीय परवर्ती है जिसकी सीमा है $A$। क्रम$\{1,2,3,..\}$ दिए गए सेट में एक अनुक्रम है जिसका कोई अभिसरणीय परिणाम नहीं है इसलिए 4 में सेट) कॉम्पैक्ट नहीं है।
वैकल्पिक आप इस तथ्य का उपयोग कर सकते हैं कि $\{q \in \mathbb Q: -n <q <n\}, n=1,2...$ सेट का एक खुला कवर है जिसमें कोई परिमित उप कवर नहीं है।