मोनोएडल श्रेणियां जिनके टेंसर में एक बाएं बगल है
क्या मोनोएडल श्रेणियों के लिए एक नाम है $(\mathscr V, \otimes, I)$ ऐसा है कि $\otimes$ बायाँ बगल है $(\ell, r) : \mathscr V \to \mathscr V^2$? क्या उनका कहीं अध्ययन किया गया है? कुछ दिलचस्प उदाहरण क्या हैं?
टिप्पणी की एक जोड़ी: जब $I : 1 \to \mathscr V$ उसके बाद बायाँ बगल है $\mathscr V$अर्धविक्षिप्त है, अर्थात इकाई टर्मिनल है। कब$\otimes$ एक बाईं बगल है, जो विकर्ण है $\Delta : \mathscr V \to \mathscr V^2$, तब फिर $\mathscr V$ बाइनरी उत्पाद है।
मैं संरचना को और अधिक स्पष्ट करने के लिए यहां परिभाषा को खोलूंगा। लश्कर$(\mathscr V, \otimes, I)$ एक मोनॉयडल श्रेणी हो। $\otimes$ अगर हमारे पास निम्नलिखित है तो एक बाईं बगल है।
- एंडोफूनर $\ell : \mathscr V \to \mathscr V$ तथा $r : \mathscr V \to \mathscr V$;
- आकारिकी के प्रत्येक जोड़े के लिए $f : \ell(X) \to Y$ तथा $g : r(X) \to Z$एक रूपवाद $\{f, g\} : X \to Y \otimes Z$;
- हर आकार के लिए $h : X \to Y \otimes Z$, आकारिकी $h_\ell : \ell(X) \to Y$ तथा $h_r : r(X) \to Z$,
ऐसे सभी के लिए $x : X' \to X$, $y : Y \to Y'$ तथा $z : Z \to Z'$, अपने पास $$y \otimes z \circ \{ f, g \} \circ x = \{ y \circ f \circ \ell(x), z \circ g \circ r(x) \}$$ $$\{ h_\ell, h_r \} = h$$ $$\{ f, g \}_\ell = f$$ $$\{ f, g \}_r = g$$
जवाब
सिर्फ साफ करने के लिए $\epsilon$Qiaochu के उत्तर के बाद छोड़ दिया गया कमरा - हम अतिरिक्त परिकल्पना से छुटकारा पा सकते हैं। मैं लिखूंगा$I$ मोनोएडल यूनिट के लिए और $1$ टर्मिनल ऑब्जेक्ट के लिए।
मान लो की $(\ell,r) \dashv \otimes$। फिर प्राकृतिक समरूपताएं हैं$A \cong I \otimes A \cong A \otimes I$ नक्शों के हिसाब से, वृद्धि द्वारा, देना $\ell A \to I$ तथा $r A \to I$में स्वाभाविक है $A$। हमारा एक यूनिट मैप भी है$A \to (\ell A) \otimes (r A)$में स्वाभाविक है $A$। टेंसरिंग और कम्पोजिंग, हमें एक नक्शा मिलता है$A \to (\ell A) \otimes (r A) \to I \otimes I \cong I$में स्वाभाविक है $A$। यही है, हमारे पास एक कोकून है (शीर्ष के साथ)$I$) के लिए पहचान फ़नकार पर $V$। यह इस प्रकार है कि पूरा होने में$\tilde V$ का $V$, एक टर्मिनल ऑब्जेक्ट है (जिसे वापस लेना चाहिए $I$) का है।
अब, पूर्णता पूर्ण $\tilde V$ फिर से एक मोनोइडल संरचना है $\tilde \otimes$ एक बाईं बगल के साथ $(\tilde \ell, \tilde r)$। तो Qiaochu के Eckmann-Hilton तर्क के पहले भाग में चलाया जा सकता है$\tilde V$: $I = I \otimes I = (I \times 1) \otimes (1 \times I) = (I \otimes 1) \times (1 \otimes I) = 1 \times 1 = 1$ (तीसरी अभिव्यक्ति में, उत्पाद तुच्छ रूप से मौजूद हैं, और चौथे में क्योंकि उत्पाद मौजूद है $\otimes$उत्पादों को संरक्षित करता है)। यानी हमारे पास होना चाहिए$I_{\tilde V} = 1_{\tilde V}$। परंतु$I_{\tilde V}$ की छवि है $I_V$ में $\tilde V$, और निष्प्राण पूर्णता में समावेश टर्मिनल वस्तुओं को दर्शाता है। इसलिये$V$ एक टर्मिनल ऑब्जेक्ट है, और $1_V = I_V$।
फिर, जैसा कि ऊपर की टिप्पणियों में देखा गया है, किओचू के एक्कमैन-हिल्टन तर्क के दूसरे भाग में चलाया जा सकता है $V$: $A \otimes B = (A \times 1) \otimes (1 \times B) = (A \otimes 1) \times (1 \otimes B) = A \times B$ (दूसरी अभिव्यक्ति में, उत्पाद तुच्छ रूप से मौजूद हैं, और तीसरे में उत्पाद मौजूद है क्योंकि $\otimes$उत्पादों को संरक्षित करता है)। अर्थात्, बाइनरी उत्पादों में मौजूद हैं$V$ और इससे सहमत हैं $\otimes$। वास्तव में, पहचान फ़नकार एक ओपलैक्स मोनॉयडल फ़ंक्टर है$(V,\otimes)$ सेवा मेरे $(V,\times)$, जो तर्क दिखाता है कि वास्तव में मजबूत मोनॉयडल है। इस प्रकार$(V,\otimes) \simeq (V,\times)$ मोनोएडल श्रेणियों के रूप में।
अगर $\otimes : V \times V \to V$ एक बाईं बगल है और $V$ फिर परिमित उत्पाद है $\otimes$ उन्हें इस अर्थ में संरक्षित करता है कि प्राकृतिक मानचित्र
$$(X \times Y) \otimes (Z \times W) \to (X \otimes Z) \times (Y \otimes W)$$
एक समरूपता है। एकमैन-हिल्टन तर्क के एक मोनॉइडल-श्रेणीबद्ध संस्करण द्वारा मुझे ऐसा लगता है कि यह इसका अर्थ है$\otimes$उत्पाद है स्पष्ट रूप से, यदि हम दें$1_{\times}$ टर्मिनल ऑब्जेक्ट को चिह्नित करें और $1_{\otimes}$ मोनोएडल यूनिट को निरूपित करते हैं तो हमें आइसोमॉर्फिज्म मिलता है
$$1_{\otimes} \cong 1_{\otimes} \otimes 1_{\otimes} \cong (1_{\otimes} \times 1_{\times}) \otimes (1_{\times} \times 1_{\otimes}) \cong (1_{\otimes} \otimes 1_{\times}) \times (1_{\times} \otimes 1_{\otimes}) \cong 1_{\times} \times 1_{\times} \cong 1_{\times}$$
तोह फिर $1_{\otimes} \cong 1_{\times}$(और यह समरूपता अद्वितीय है यदि यह मौजूद है तो हमें प्राकृतिकता के बारे में इतना सब कुछ चिंता करने की आवश्यकता नहीं है)। अब हम अपमानजनक सदस्यता को छोड़ सकते हैं और केवल संदर्भित कर सकते हैं$1$। यह एक प्राकृतिक समरूपता देता है
$$X \otimes Y \cong (X \times 1) \otimes (1 \times Y) \cong (X \otimes 1) \times (1 \otimes Y) \cong X \times Y$$
किसी के लिए $X, Y$। वास्तव में मुझे यकीन नहीं है कि अगर यह तर्क दिखाता है कि सहयोगी और एकजुट नहीं है$\otimes$ उत्पाद के सहयोगी और संचालक के साथ मेल खाता है, लेकिन मुझे लगता है कि इस तर्क का अधिक विस्तृत संस्करण होगा।
मुझे नहीं पता कि क्या यह संभव है $V$परिमित उत्पाद नहीं है। (पहले यहां एक तर्क था जिसमें डे कन्वेंशन शामिल था लेकिन टिम ने टिप्पणियों में इसमें अंतराल बताया है।)