$\mu(A_n \Delta B_n)=0$ सबके लिए $n.$
चलो $(X,S,\mu)$ एक माप स्थान, और चलो, $(A_n), (B_n)$ एस। इफ के तत्वों के दो क्रम $\mu(A_n \Delta B_n)=0$ सभी n सिद्ध के लिए, निम्नलिखित हैं $\mu-$अशक्त सेट ($\mu(E)=0$ के लिये $E\in$एस):
मैं) $\mu( ( \bigcup^{\infty}_{n=1}A_n) \Delta (\bigcup^{\infty}_{n=1}B_n))$।
ii) $\mu(({\bigcap}_{n=1}^\infty) A_n \Delta ({\bigcap}_{n=1}^\infty B_n))$।
iii) $\mu((\overline{\lim} A_n) \Delta ((\overline{\lim} B_n))$।
iv) $\mu((\underline{\lim} A_n) \Delta ((\underline{\lim} B_n))$।
(I) मैं यह साबित करता हूं $\mu(A_n - B_n)=\mu(B_n - A_n)=0$, इसलिये $\mu(A_n \Delta B_n)=\mu((A_n-B_n)\cup(B_n-A_n))=0$ तथा $B_n-A_n$, $A_n-B_n$ तब असंतुष्ट होते हैं $\mu(A_n \Delta B_n)=\mu((A_n-B_n)\cup(B_n-A_n))=\mu(A_n-B_n)+\mu(B_n-A_n)=0$ सभी के लिए एन, लेकिन $\mu$ कोई नकारात्मक है, तो $\mu(A_n - B_n)=\mu(B_n - A_n)=0$।
(Ii) के लिए मैंने इसका इस्तेमाल किया है $({\bigcap}_{n=1}^\infty) A_n \Delta ({\bigcap}_{n=1}^\infty B_n)\subset ({\bigcap}_{n=1}^\infty A_n \Delta B_n)$ तब फिर $\mu(({\bigcap}_{n=1}^\infty) A_n \Delta ({\bigcap}_{n=1}^\infty B_n))\leq \mu(({\bigcap}_{n=1}^\infty A_n \Delta B_n))$।
लेकिन (iii) और (iv) मुझे यकीन नहीं है।
जवाब
हमें कुछ सामान्य पहचान की आवश्यकता है:
चलो $K$एक सूचकांक सेट। फिर:$$ \bigcup_{k\in K} X_k \triangle \bigcup_{k\in K} Y_k \subset \bigcup_{k\in K} X_k \triangle Y_k\\ X \triangle Y = X^{c} \triangle Y^c \\ \bigcap_{k\in K} X_k \triangle \bigcap_{k\in K} Y_k \subset \bigcup_{k\in K} X_k \triangle Y_k\\ $$ पहली पहचान: यदि $a\in \bigcup_{k\in K} X_k$ लेकिन आ $a\notin \bigcup_{k\in K} Y_k$, तब फिर $a\in X_{k_0}$ तथा $a\notin Y_{k_0}$, तोह फिर $a\in X_{k_0}\triangle Y_{k_0}$, कुछ के लिए $k_0\in K$। अन्य मामला भी ऐसा ही है।
दूसरा: सेट अंतर की परिभाषा।
तीसरा: पहले और दूसरे और डी-मॉर्गन को लागू करें
उत्तर देना (i) और (ii) आईडी के उपरोक्त + का एक सरल अनुप्रयोग है $\sigma$माप की संवेदनशीलता।
के लिए (iii): सेट $X_n=\bigcup_{k\ge n} A_k$ तथा $Y_n=\bigcup_{k\ge n} B_k$। फिर$X_n \triangle Y_n$ एक शून्य सेट है: यह शून्य सेट के एक संघ द्वारा कवर किया गया है: $X_n \triangle Y_n\subset \bigcup_{k\ge n} A_k \triangle B_k$, पहली पहचान से।
अब, रिश्ता $\bigcap_n X_n \triangle \bigcap_n Y_n\subset \bigcup_n X_n \triangle Y_n$ इसका मतलब है कि इसी तरह $\mu\left( \overline{\lim}A_n \triangle \overline{\lim}B_n\right)=0$।
द $\underline{\lim}$ मामला लगभग समान है।