मूल्यांकन करना $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1+e^{2i\phi})^{\alpha} (1+e^{-2i\phi})^{\beta} \, \mathrm{d}\phi$
मुझे मूल्यांकन करना चाहिए:
$$ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1+e^{2i\phi})^{\alpha} (1+e^{-2i\phi})^{\beta} \, \mathrm{d}\phi $$
द्विपद प्रमेय और पहचान का उपयोग करके:
$${}_2F_1 \left(\begin{array}{c}a , b \\ c \end{array};x\right) = \frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)} \int_{0}^{1} t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-xt)^{-a} \, \mathrm{d}t$$
इसलिए पहले द्विपद प्रमेय का उपयोग कर मुझे प्राप्त होता है:
\begin{align*} &\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sum_{k=0}^{\alpha} \binom{\alpha}{k} e^{2i\phi k} \sum_{k=0}^{\beta} \binom{\beta}{k} e^{-2i\phi k} \, \mathrm{d}\phi \\ &= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sum_{k=0}^{\alpha} \sum_{l=0}^{\beta} \binom{\alpha}{k} e^{2i\phi k} \binom{\beta}{l} e^{-2i\phi l} \, \mathrm{d}\phi \\ &= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sum_{k=0}^{\alpha} \sum_{l=0}^{\beta} \binom{\alpha}{k} \binom{\beta}{l} e^{2i\phi(k-l)} \, \mathrm{d}\phi \end{align*}
लेकिन यहाँ से मैं नहीं जानता कि आगे बढ़ना है या पहचान का उपयोग कैसे करना है। कोई संकेत?
जवाब
अगर $\beta$ एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है, जिसके साथ $z=e^{2i\phi}$ यह बन जाता है$$\oint_{|z|=1}(1+z)^{\alpha+\beta}\frac{dz}{2iz^{\beta+1}}=\pi[z^\beta](1+z)^{\alpha+\beta}=\pi\binom{\alpha+\beta}{\beta}=\frac{\pi\Gamma(\alpha+\beta+1)}{\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\beta+1)}.$$अपडेट: @Iridescent ने बताया है कि हम कॉम्प्लेक्स को कैसे सामान्य कर सकते हैं $\beta$। अभिन्न है$2^{\alpha+\beta-1}\int_0^{\pi/2}\cos^{\alpha+\beta}\phi\cos[(\alpha-\beta)\phi]d\phi$, क्योंकि इंटीग्रैंड का काल्पनिक हिस्सा एकीकृत है $0$ पर $[-\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{\pi}{2}]$। एक पुराना सवाल यह साबित करता है कि यह वास्तव में है$\tfrac{\pi\Gamma(\alpha+\beta+1)}{\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\beta+1)}$।