निम्नलिखित मैट्रिक्स उत्पाद के लिए आवश्यक (और पर्याप्त) स्थिति सममित सकारात्मक निश्चित होने के लिए है?
कुछ ठीक करो $n\times n$ सममित सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स $A$। निम्नलिखित मैट्रिक्स उत्पाद पर विचार करें,
$$B = AC$$
कहां है $C$ एक मनमाना है $n\times n$आव्यूह। दिया हुआ$A$, मैं जानना चाहूंगा कि क्या सभी वर्ग मैट्रिस पर आवश्यक और पर्याप्त शर्तें ज्ञात हैं $C$ ऐसा है कि परिणामस्वरूप मैट्रिक्स $B$सममितीय सकारात्मक निश्चित भी है? मुझे आवश्यक शर्तों को जानने में (यदि संभव हो तो) अधिक दिलचस्पी है।
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मैं केवल वास्तविक मैट्रिसेस से संबंधित हूं।
जवाब
अगर $C$ एक सकारात्मक निश्चित वास्तविक मैट्रिक्स है, जिसके साथ काम करता है $A$ तब फिर $AC = C^{1/2}AC^{1/2}$जो सकारात्मक निश्चित है। तो यह निश्चित रूप से एक पर्याप्त स्थिति है।
हालांकि, यह आवश्यक से बहुत दूर है। उस पर विचार करें$$ \left[\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}2 & 0 \\ 1 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 4 \\ 4 & 8\end{matrix}\right]. $$
मुझे यकीन नहीं है कि एक अच्छी स्थिति होने जा रही है जो पूरी तरह से इस तरह का वर्णन करती है $C$।
एक आवश्यक शर्त यह है कि $$ AC = (AC)^T = C^TA \ \ \ \ \textrm{or} \ \ \ ACA^{-1} = C^T $$ अगर इसके अलावा में $C$ सममित है, तो यह साथ आता है $A$ और फिर $A^{1/2}CA^{1/2} = AC > 0$ जिसका तात्पर्य है $C$ के बाद से सकारात्मक निश्चित है $A^{-1}$ साथ ही सकारात्मक है।
शायद ही एक पूर्ण उत्तर है, लेकिन मेरे लिए अभी यही सब है।