ऑपरेशन के साथ अहसास क्यों $x \bullet y = \sqrt[3]{x^3 + y^3}$ एक समूह है
उपरोक्त ऑपरेशन वास्तविक संख्याओं के लिए एक समूह है, क्योंकि 0 पहचान तत्व है, और किसी भी वास्तविक संख्या का नकारात्मक इसका व्युत्क्रम है, क्योंकि यह तुच्छ रूप से देखा जा सकता है। संबद्धता कम तुच्छ है, लेकिन यह धारण करती है।
वास्तव में, यदि हम किसी विषम संख्या (5, 7 ...) के लिए 3 को प्रतिस्थापित करते हैं, तो ऑपरेशन समूह के गुणों को संतुष्ट करता है। हालाँकि, कोई भी संख्या विफल रहती है।
क्या कोई ज्यामितीय / विश्लेषणात्मक / ... व्याख्या है कि एक ऑपरेशन क्यों पसंद है $x \bullet y = \sqrt[3]{x^3 + y^3}$ साहचर्य और, एक परिणाम के रूप में, यह वास्तविक को एक समूह की संरचना देता है?
जवाब
लश्कर $G$ कोई भी समूह हो, $X$ किसी भी सेट हो, और $f: X \rightarrow G$कोई भी आपत्ति हो। फिर, हम समूह संरचना को इससे स्थानांतरित कर सकते हैं$G$ सेवा $X$ व्यवस्थित करके $x \cdot y = f^{-1}(f(x) \cdot f(y))$। यानी हम बायजेमेंट का इस्तेमाल करते हैं$f$ के तत्वों की पहचान करने के लिए $G$ और के तत्व $X$, और एक समूह संरचना पर रखा $X$इस पहचान का उपयोग करना। मैं इसे एक अभ्यास के रूप में छोड़ दूँगा कि यह वास्तव में एक समूह संरचना को परिभाषित करता है$X$।
अब, ले लो $G=(\mathbb R,+)$, $X=\mathbb R$ तथा $f(x)=x^3$ अपने मामले को ठीक करने के लिए।
अगर $f$ reals के किसी भी अजीब आक्षेप तो ऑपरेशन है
$$x\cdot y=f^{-1}(f(x)+f(y))$$
लोकों को एक समूह बनाता है और $f$उस समूह के लिए वास्तविक के additive समूह से एक isomorphism। आपके मामले में$f(x)=x^3$। सहयोगीता इस तथ्य से है कि$f$ एक समरूपता है। $0$ तटस्थ तत्व है और $-x$ का विलोम है $x$। यहाँ तथ्य यह है कि$f$ विषम प्रयोग किया जाता है।
एक मनमानी आक्षेप के लिए$f\colon \mathbf R \to \mathbf R$, आपरेशन $x*y = f^{-1}(f(x) + f(y))$ पर एक समूह कानून है $\mathbf R$। यह सब कहता है कि यदि आप प्रत्येक वास्तविक संख्या का नाम बदलते हैं$x$ जैसा $f(x)$ तब आप मूल समूह कानून को परिवर्तित कर सकते हैं $+$ एक समूह कानून में $*$ ताकि $f$ से एक समरूपता है $(\mathbf R, *)$ सेवा $(\mathbf R,+)$। अंतर्ज्ञान बीजीय है, ज्यामितीय नहीं। कुछ भी जादुई नहीं है$n$वें जड़ें विषम के लिए $n$ एक आक्षेप होने के अलावा।
अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शरेखा समारोह $\tanh \colon \mathbf R \to (-1,1)$ एक ऐसी आपत्ति है जिससे आप अतिरिक्त रूप से परिवहन कर सकते हैं $\mathbf R$ पर एक समूह कानून के लिए $(-1,1)$इसका उपयोग विशेष सापेक्षता (एक आयामी गति में वेग के अलावा) में किया जाता है। स्केलिंग फैक्टर तक इस आक्षेप का उलटा, भौतिकी में "रैपिडिटी" कहलाता है।
संक्षिप्त उत्तर: क्योंकि $\sqrt{x^2}\ne x$ के लिये $x<0$।
लंबा जवाब, जिसमें मैं पसंद करता हूं $\cdot$ सेवा $\bullet$:
एक ऑपरेशन संतोषजनक $(x\cdot y)^n=x^n+y^n$ बंद हो जाता है, अगर के बाद से $n$ अजीब है हम ले सकते हैं $n$वें रूट, और यदि $n$ यहां तक कि हम केवल लेने की कोशिश करते हैं $n$किसी बात की जड़ $\ge0$। और तब से$$((x\cdot y)\cdot z)^n=(x\cdot y)^n+z^n=x^n+y^n+z^n=(x\cdot(y\cdot z))^n,$$ऑपरेशन सहयोगी। (की शक्ति को रद्द कर रहा है$n$ के बाद से तुच्छ है, भले ही $n$ सम है, $\cdot$ हमेशा गैर-नकारात्मक लेने के लिए परिभाषित किया गया है $n$वैसे भी जड़।) तो कम से कम, हम एक अर्धवृत्त बनाते हैं।
जबसे $x\cdot0=(x^n)^{1/n}$, विषम के लिए $n$ हमारे पास भी है $0$ एक पहचान के रूप में, लेकिन यहां तक कि के लिए $n$ हम नहीं करते हैं $x\cdot0=|x|$, तो यह भी एक मोनॉइड नहीं है, अकेले एक समूह दें । अंतिम समूह स्वयंसिद्ध व्युत्क्रम है, जो विषम के लिए काम करता है$n$ जैसा कि आपने उल्लेख किया है, लेकिन यहां तक कि के लिए $n$ हमारे पास है $x\cdot y\ge|x|$, इसलिए हमारे पास उलटा भी नहीं है।
संकेत :
सहानुभूति केवल इस तथ्य से उत्पन्न होती है कि दोनों $\;(x\bullet y)\bullet z$ तथा $\;x\bullet( y \bullet z)$ के बराबर हैं $$\sqrt[\substack{\,\scriptstyle3\\}]{x^3 +y^3+z^3}.$$