पहली अनंत अध्यादेश की स्थिति $\omega$ गैर-मानक विश्लेषण के भीतर?
महामारी के दौरान नए समय के साथ, मैं गैर-मानक विश्लेषण का अध्ययन कर रहा हूं। मैं अल्ट्राफिल्टर्स का बहुत शौकीन नहीं था, इसलिए मैंने नेल्सन के आंतरिक सेट सिद्धांत और हर्बसेक सेट सिद्धांत की ओर गुरुत्वाकर्षण किया है। यद्यपि मैं बाद वाले को पसंद करता हूं, मुझे नेल्सन के काम के साथ अधिक अनुभव है, इसलिए मैं आईएसटी के संदर्भ में चीजों को वाक्यांश दूंगा।
मुझे निर्धारित सिद्धांत में क्रमिक संख्याओं का बुनियादी ज्ञान है, जिनमें से $\omega$प्रथम है। मैं जानना चाहता हूं कि सेट आईएसटी में कहां फिट बैठता है। क्या यह केवल एक मानक हाइपरफाइनल संख्या है? वास्तव में, तथ्य यह है कि$\omega > n$ हर प्राकृतिक संख्या के लिए $n$, मुझे यह मान लेने के कारण $\omega$ का सदस्य हो सकता है ${}^*\mathbb{N}$, क्योंकि यह इन प्राकृतिक संख्याओं की परिभाषित संपत्ति है। मुझे एक पेपर मिला ( टारस कुड्रीक एट अल।, 2004 ) जिसमें मानक हाइपरफिनिटी पूर्णांक का उल्लेख किया गया था जो कि इसके प्रस्ताव 2.1 में सिद्ध हुआ था:
वहाँ मौजूद है $\mathbf{standard}$ R- अनंत [अर्थात में ${}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$] अप्राकृतिक संख्या।
जैसा कि मैं इसे समझता हूं, ZFC में विशिष्ट रूप से परिभाषित हर सेट मानक विधेय के संदर्भ के बिना मानक है। इसलिए, पहला ट्रांसफ़ेक्टिन ऑर्डिनल$\omega$एक मानक सेट है। इसके साथ, मैं यह साबित करने की उम्मीद कर रहा हूं$\omega\in{}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$। हालांकि, एक ही समय में, मुझे याद है कि कोई कम से कम अतिसामान्य प्राकृतिक संख्या नहीं है। यह इस तथ्य के विपरीत प्रतीत होता है कि$\omega$ सबसे कम क्रमिक संख्या है।
इस बिंदु पर, सेट सिद्धांत के साथ मेरे अनुभव की कमी शायद दिखाई दे रही है। बीच के अंतरों पर चर्चा करने वाले प्रश्नों को देखते हुए$\omega$ तथा $\mathbb{N}$मुझे एहसास होता है कि मैं यहाँ अपने सिर पर हो सकता है। क्या मेरे पास सेट थ्योरी और इसके गैर-मानक एक्सटेंशन के साथ अधिक अनुभव वाले कुछ स्पष्टीकरण हो सकते हैं? कहा पर$\omega$ (और वास्तव में सामान्य क्रमांक) IST में फिट होते हैं?
जवाब
सबसे छोटा ट्रांसफ़ेक्ट वॉन न्यूमैन ऑर्डिनल $\omega$ और के तत्व ${}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$पूरी तरह से वस्तुओं के विभिन्न प्रकार हैं। पूछना "करता है$\omega$ सेट के हैं ${}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$"? बहुत मतलब नहीं है, उसी तरह पूछ" समूह करता है $S_3$ सेट होते हैं $\mathbb{R}$ एक तत्व के रूप में? "ज्यादा मतलब नहीं है।
मैं ऐसी स्थिति की व्यवस्था कर सकता हूं जहां उत्तरार्द्ध प्रश्न का उत्तर तकनीकी रूप से हां है। जैसे समूह को परिभाषित करके$S_3$ अंतर्निहित सेट के साथ समूह के रूप में $S_3 = \{A,B,C,D,E,\mathbb{R}\}$ और गुणन तालिका के साथ
S_3 ℝ A B C D E
--+------------------------
ℝ | ℝ A B C D E
A | A B ℝ D E C
B | B ℝ A E C D
C | C E D ℝ B A
D | D C E A ℝ B
E | E D C B A ℝ
हमारे पास केवल इतना ही नहीं है $\mathbb{R} \in S_3$, लेकिन यह भी $\mathbb{R}$ का पहचान तत्व है $S_3$। यह निश्चित रूप से एक अर्थहीन तकनीकी है, और समूह के बीच गणितीय संबंध के लिए गलत नहीं होना चाहिए$S_3$ और वास्तविक संख्या $\mathbb{R}$।
आपके एक्सटेंशन के निर्माण पर निर्भर करता है ${}^*\mathbb{N}$, आप इसी तरह बनाने की व्यवस्था कर सकते हैं $\omega \in {}^*\mathbb{N} \setminus \mathbb{N}$ पकड़, लेकिन यह आपको अध्यादेशों के बारे में कुछ नहीं सिखाता है: आप उदाहरण के लिए व्यवस्था कर सकते हैं $\mathbb{R} \in {}^*\mathbb{N}$ बिल्कुल उसी तरह से।
उस रास्ते से, वहाँ एक प्राकृतिक गणितीय तरीका है जिसमें क्रमिक है $\omega$कुछ निश्चित गैर-प्राकृतिक संख्या से मेल खाती है? उस प्रश्न का उत्तर नहीं है, और यह तब भी नहीं रहता है जब हम "निश्चित मानक तत्व" के साथ "निश्चित गैरमानक प्राकृतिक संख्या" को प्रतिस्थापित करते हैं${}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$ कहाँ पे ${}^*\mathbb{N}$ के कुछ मानक hyperextension को दर्शाता है $\mathbb{N}$"(वास्तव में, मैं सुझाव दूंगा कि इन मिश्रित IST और रोबिन्सोनियन NSA धारणाओं को तब तक टालें जब तक कि आप दोनों औपचारिकताओं के साथ अधिक सहज नहीं हो जाते)।
वही आपके "ठोस" अमानक नंबरों को प्राप्त करने के बारे में आपके निहितार्थ प्रश्न के लिए जाता है: आप IST स्वयंसिद्धों का उपयोग करके किसी भी ठोस अमानक संख्या को पिन करने में सक्षम नहीं होंगे। अमानक नंबरों के निर्माण का एकमात्र तरीका है वैश्वीकरण (यदि आप IST से आइडियलिज़ेशन एक्सिओम को छोड़ते हैं, तो यह परिणामी प्रणाली के अनुरूप है कि सभी ऑब्जेक्ट मानक हैं), और एक आइएसटी के मॉडल का निर्माण कर सकते हैं जहां आदर्शीकरण द्वारा हर विनिर्देशन (अनिवार्य रूप से हर गैर) पृथक 1-प्रकार) को मॉडल के कम से कम दो अलग-अलग तत्वों द्वारा महसूस किया जाता है।