पल उत्पन्न समारोह में आवेदन किया $2t$

Nov 25 2020

मुझे इस समस्या से कुछ परेशानी हो रही है, जिसे ग्रिमेट और वेल्श से अनुकूलित किया गया है:

अगर $X + Y$ तथा $X - Y$ स्वतंत्र हैं, यह दिखाते हैं \begin{align} M\left(2t\right) = M\left(t\right)^{3}M\left(-t\right), \end{align} कहाँ पे $X,Y$ मतलब के साथ स्वतंत्र आर.वी. $0$, विचरण $1$ तथा $M(t)$ परिमित।

इसे कैसे साबित करें? कर देता है$X$ तथा $Y$सामान्य वितरण की आवश्यकता है? धन्यवाद!

जवाब

2 angryavian Nov 25 2020 at 09:37

संकेत:

  • $M(2t) = E[e^{2tX}]$
  • $M(t) = E[e^{tX}] = E[e^{tY}]$
  • $M(-t) = E[e^{-tY}]$
  • $2X = (X+Y) + (X-Y)$
  • अगर $U$ तथा $V$ स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, फिर $E[f(U)g(V)] = E[f(U)] E[g(V)]$