पर वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन को बाध्य किया गया $[0,1]$, गैर पूर्णांक?
क्या इस तरह के एक समारोह मौजूद है? यदि हाँ, तो यह बहुत ही पैथोलॉजिकल केस होना चाहिए। मैं यहाँ Lebesgue पूर्णांक के बारे में बात कर रहा हूँ।
उदाहरण के लिए, यदि $f(x)=1$ अगर $x$ तर्कसंगत और शून्य है अन्यथा, फिर $\int_0^1 f(x)dx = 0$। तो आपको इससे अधिक पैथोलॉजिकल एक उदाहरण खोजने की आवश्यकता है। एक संभावित उदाहरण निम्नलिखित है।
चलो $f(x)$ एक गाऊसी यादृच्छिक चर की प्राप्ति हो $Z_x$ के बराबर का मतलब है $0$ और विचरण के बराबर है $1$। चलिए हम मान लेते हैं कि$Z_x$पहचान और स्वतंत्र रूप से वितरित किए जाते हैं। ऐसा समारोह$f(x)$कहीं नहीं है, और इसे एक सफेद शोर के रूप में देखा जा सकता है। हालाँकि, आप तर्क दे सकते हैं कि इसका अभिन्न अंग है$[0,t]$ मूल्य है $B(t)$ ब्राउनियन गति के एक एहसास के साथ शुरू होता है $B(0)=0$, और समय पर मापा जाता है $t$। इस प्रकार$\int_0^1 f(x) dx = B(1)$। ध्यान दें कि ब्राउनियन की गति कहीं भिन्न नहीं है, इसलिए हो सकता है कि मैं यहां जो कह रहा हूं, उसमें विरोधाभास हो।
वैसे भी, मैंने कभी भी काउंटर-उदाहरण नहीं पाया है: एक फंक्शन $[0, 1]$लेकिन उस अंतराल में नहीं। क्या आप एक उदाहरण दिखा सकते हैं?
जवाब
चलो $f$ एक बाउंड फंक्शन हो $[0,1]$।
या तो $f$ औसत दर्जे का है, और फिर $$ \int_0^1 |f| ≤ \sup |f|\ \int_0^1 1\,\mathrm d x = \sup |f| < \infty $$ तोह फिर $f$ आकुल है।
या तो $f$औसत दर्जे का नहीं है। यह मौजूद है यदि आप मान लेते हैं कि चुनाव का स्वयंसिद्ध अर्थ है। फिर आप कोई भी गैर मापने योग्य सेट ले सकते हैं$\Omega$ और ले लो $f = \chi_\Omega$नैट एल्ड्रेड द्वारा सुझाए गए अनुसार इस सेट की विशेषता है। फिर परिभाषा के अनुसार, यह कार्य पूर्ण नहीं है।