परिमित आयामी सी * -लगेब्रस की विशेषता?

Aug 18 2020

$\DeclareMathOperator\Spec{Spec}$लश्कर $A$ एक परिमित आयामी हो $*$-बजरे के ऊपर $\mathbb C$
(अर्थात्, एक सहयोगी बीजगणित जो एक अंतर्ग्रहण से सुसज्जित है$*:A\to A$ संतोषजनक $(ab)^*=b^*a^*$ तथा $(\lambda a)^*=\bar\lambda a^*$।)

इसके लिए मान लें $\forall a\in A$ अपने पास $\Spec(a^*a)\subset\mathbb R_+$
क्या यह उसका पालन करता है$A$ क्या C * -लजब्रा है?

यहाँ, स्पेक्ट्रम $\Spec(x)$ एक तत्व का $x$ खोपड़ी का सेट है $\lambda\in \mathbb C$ ऐसा है कि $x-\lambda$ उलटा नहीं है।

जवाब

7 Ruy Aug 18 2020 at 03:54

लश्कर $V$एक जटिल वेक्टर स्पेस बनें जो एक इनविजिबल एंटी-लीनियर स्टार ऑपरेशन से लैस हो (जैसे C * -लजब्रा जिसका गुणा भूल गया हो)। लैस$V$ पहचान शून्य शून्य गुणा के साथ, अर्थात् $xy=0$ सभी के लिए $x$ तथा $y$ में $V$। तब की इकाईकरण$V$एक प्रति-उदाहरण है। वास्तव में, प्रत्येक तत्व$a$ का $V$ nilpotent है तो $\text{spec}(a) = \{0\}$। नतीजतन रूप के किसी भी तत्व का स्पेक्ट्रम$a-\lambda$ है $\lambda$ जहां से कोई भी आसानी से आवश्यक स्थिति की जांच कर सकता है।

हालाँकि $a^*a=0$ हर एक के लिए $a$ में $V$, तोह फिर $\tilde V$ संभवतः C * -शिलेब्रा नहीं हो सकता।