परिवर्तन के तहत अशुद्धता
मान लीजिए $\Omega := [0,1]^{\mathbb Z}$ उत्पाद टोपोलॉजी से सुसज्जित है और बोरेल के साथ संपन्न है $\sigma$-बैलब्रिज $\mathcal B(\Omega)$ और एक संभावना उपाय है $\mathbb P$ पर $(\Omega,\mathcal B(\Omega))$ इस तरह के बदलाव $T:\Omega \to \Omega$, $$T(\omega)(k) := \omega(k+1),\quad \omega\in\Omega,k\in \mathbb Z$$ माप संरक्षण है, अर्थात $\mathbb P = \mathbb P \circ T^{-1}$ पर $\mathcal B(\Omega)$, और एर्गोडिक, यानी $A=T^{-1}(A)$ का तात्पर्य $\mathbb P (A)\in\{0,1\}$ किसी के लिए $A\in\mathcal B(\Omega)$। अब छोडो$f:[0,1]^3\to[0,1]$ एक औसत दर्जे का कार्य और $U:\Omega \to \Omega$ द्वारा परिभाषित परिवर्तन $$ U(\omega)(k) := f(\omega(2k-1),\omega(2k),\omega(2k+1)),\quad \omega\in\Omega,k\in\mathbb Z.$$ हम संभाव्यता उपाय पर विचार करते हैं $\widetilde {\mathbb P}:= \mathbb P\circ U^{-1}$ कहां है $U^{-1}$ निंदा को दर्शाता है।
तब तक $T\circ U= U\circ T^2$, यह धारण करता है $(\Omega,\mathcal B(\Omega), \widetilde {\mathbb P},T)$अभी भी एक माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली है। क्या यह भी एर्गोडिक है?
संपादित करें: संभाव्यता उपायों के उदाहरण क्या हैं$\mathbb P$ पर $\mathcal B(\Omega)$ और सेट करता है $A\in\mathcal B(\Omega)$ ऐसा है कि $T^{-2}(A)=A$ लेकिन आ $\mathbb P(A)\notin \{0,1\}$ (और इसलिए जरूरी है $T^{-1}(A)\neq A$)?
जवाब
उत्तर नकारात्मक है: चलो \begin{align*} \mathbb P &:= \frac 1 2 \left(\delta_{\left(\mathbb 1_{2 \mathbb Z}(k)\right)_{k\in \mathbb Z}} + \delta_{\left(\mathbb 1_{2 \mathbb Z+1}(k)\right)_{k\in \mathbb Z}} \right), \\ A &:= \left\lbrace (1)_{k\in\mathbb Z} \right\rbrace ,\\ f(x,y,z) &:= y. \end{align*}
संभावना $\mathbb P$ राज्य स्थान पर इर्रिसेबल मार्कोव श्रृंखला से मेल खाती है $\{0,1\}$ संक्रमण मैट्रिक्स के साथ $P = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1& 0\end{pmatrix}$ जिसका विशिष्ट वितरण है $(\frac 1 2 \,\,\, \frac 1 2)$। इस गणित के उत्तर के प्रकाश में। डायनेमिक सिस्टम पर सवाल उठाएं$(\Omega,\mathcal B(\Omega),\mathbb P, T)$माप-संरक्षण और एर्गोडिक है (लेकिन मिश्रण नहीं)। अभी,$T^{-1}(A)=A$ लेकिन आ $$U^{-1}(A) = \prod_{k\in \mathbb Z} \begin{cases} \{1\},&\quad k\in 2 \mathbb Z \\ [0,1],&\quad k\in 2\mathbb Z+1\end{cases}, $$ जहाँ पर $\widetilde{\mathbb P}(A) = \frac 1 2 $।