Pfaffian को सामान्य बनाना: मेट्रिसेस के परिवार जिनके निर्धारक प्रविष्टियों में बहुपद की सही शक्तियाँ हैं
लश्कर $n$ एक सकारात्मक पूर्णांक हो, और चलो $M = (m_{ij})$ तिरछा होना $2n \times 2n$आव्यूह। यानी हमारे पास है$m_{ij} = -m_{ji}$ के लिये $1 \leq i, j \leq 2n$। तब यह सर्वविदित है कि
$$\det M = p(M)^2,$$
कहां है $p$ प्रविष्टियों में एक बहुपद है $m_{ij}$। बहुपद$p(M)$का Pfaffian कहा जाता है$M$।
क्या इसका कोई सामान्यीकरण है? यही है, वहाँ के एक प्राकृतिक परिवार है$kn \times kn$ मेट्रिसेस जिनके नियतांक परिपूर्ण होते हैं $k$प्रविष्टियों में बहुपद की शक्तियों?
जवाब
इसके उदाहरणों का एक अच्छा वर्ग क्लिफर्ड अल्जेब्रा द्वारा दिया गया है: यदि $V$ एक द्विघात रूप के साथ संपन्न के साथ एक वास्तविक वेक्टर स्थान है $q:V\to\mathbb{R}$, बीजगणित $Cl(q)$ के तत्वों द्वारा उत्पन्न बीजगणित है $V$ गुणन नियम के अधीन $x^2 = -q(x)$। अगर$M$ एक है $Cl(q)$-मोदुले, कहना $M\simeq\mathbb{R}^m$, तब हमारा समावेश है $V\hookrightarrow\mathrm{End}(M)$ और की विशेषता बहुपद $x\in V\subseteq\mathrm{End}(M)$ आसानी से देखा जा सकता है $(t^2+q(x))^{m/2}$, तो हमारे पास $$ \det(x) = q(x)^{m/2} $$ सभी के लिए $x\in V$।
उदाहरण के लिए, यदि $V$ है $\mathbb{R}^8$ अपने मानक यूक्लिडियन द्विघात रूप के साथ $q$, तब फिर $Cl(q)$ isomorphic है $\mathrm{End}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}^{16})$, तो हम ले सकते हैं $M=\mathbb{R}^{16}$ (और हर $Cl(q)$-मॉड्यूल है $\mathbb{R}^{16k}$ कुछ पूर्णांक के लिए $k$) का है। इस प्रकार, इस मामले में, हमारे पास है$\det(x) = p(x)^8$ कहां है $p(x) = |x|^2$ सभी के लिए $x\in V$।
सामान्य तौर पर, जब $V\simeq\mathbb{R}^n$ तथा $q_n:V\to\mathbb{R}$ nondegenerate, एक न्यूनतम nontrivial का आयाम है $Cl(q_n)$-मॉड्यूल बढ़ता है (लगभग) तेजी के साथ $n$, इसलिए न्यूनतम $m$ के साथ तेजी से बढ़ता है $n$। इससे पता चलता है कि इसके साथ nontrivial 'irreducible' उदाहरण हैं$\det(x) = p(x)^k$ के लिये $k$ मनमाने ढंग से बड़े और संभव आयाम पर कोई बाध्य नहीं है $n$ की उप-भूमि $V\subset\mathrm{End}(M)$।
टिप्पणी : एक रैखिक उप-स्थान दिया$V\subset\mathrm{End}(\mathbb{R}^{m})$ इस तरह कि एक बहुपद मौजूद है $p:V\to\mathbb{R}$ और एक पूर्णांक $k = m/\deg(p)>1$ ऐसा है कि $\det(x) = p(x)^k$, हम कहते हैं कि जोड़ी $(V,\mathbb{R}^m)$है अलघुकरणीय अगर कोई nontrivial उपस्पेस है$M\subset\mathbb{R}^m$ ऐसा है कि $x(M)\subset M$ सभी के लिए $x\in V$ तथा $\det(x_{|M}) = p(x)^j$ सभी के लिए $x\in V$, जहां, आवश्यक रूप से, $j = (\dim M)/\deg(p)$।
रैखिक उप-स्थान के लिए दिलचस्प समस्या $V\subset\mathrm{End}(\mathbb{R}^m)$ जिस पर $\det$-फंक्शन एक बहुपद की उच्च शक्ति है $V$ किसी दिए गए के लिए अधिकतम आयाम के irreducible वाले को वर्गीकृत करना है $m$।