फंक्शन इंटुइशन जनरेट करना

Question

मैं जनरेटिंग फ़ंक्शंस के उपयोग को समझने की कोशिश कर रहा हूं। मैं समझ गया कि हम एक अनुक्रम को एक जनरेटिंग फंक्शन में कंप्रेस कर सकते हैं, ताकि बहुपद के प्रत्येक गुणांक जो उत्पन्न करता है, वह अनुक्रम के तत्व हैं। लेकिन मुझे समझ नहीं आ रहा है कि इनपुट क्या बदलता है?

मान लें कि हमारे पास जनरेटिंग फंक्शन है: $$G(x)=\sum^\infty_{k=0} p_k x^k$$

क्या होता है जब हम अलग-अलग मूल्य देते हैं $x$, क्या सहज रूप से बदल रहा है? मैंने सोचा था$x^k$ शब्द अनुक्रम में गुणांक के स्थान को एनकोड करने के लिए था, क्योंकि हम जोड़ नहीं सकते $p_ax^a$ तथा $p_bx^b$ अगर $ a \neq b$, ताकि शर्तें विषमलैंगिक रहें। लेकिन मैंने देखा कि एक संभावना के लिए संपत्ति का वितरण$G(1)=1$अवश्य होल्ड करें। क्या यह एकमात्र मामला है जहाँ x को मान देना उपयोगी है?

अग्रिम स्पष्टीकरण के लिए बहुत बहुत धन्यवाद।

Answer 1

अगर $X$ गैर-नकारात्मक पूर्णांकों में असतत यादृच्छिक चर मान ले रहा है $\{0,1, \dots\}$, तो प्रायिकता उत्पन्न करने का कार्य $X$ की तरह परिभाषित किया गया है:

$$\color{blue}{\displaystyle G(z)=\mathbb{E} \left(z^{X}\right)=\sum_{x=0}^{\infty }p(x)\;z^{x}}$$

कहाँ पे $p$ की संभावना जन कार्य है $X$। की पसंद$z$ के बजाय $x$बस इस विचार से संबंधित है कि हम जो कर रहे हैं वह एक z रूपांतर है ।

जो इस प्रकार है, उस पर ध्यान दें $z$ ब्याज के मूल्यों को लटकाने के लिए एक कपड़े की तरह काम कर रहा है, जिसे विभेदित करने के बाद बरामद किया जाता है, और मूल्यांकन किया जाता है $0$ PMF को पुनर्प्राप्त करने के लिए, या पर $1$क्रमशः क्षणों के लिए। यह जादू इस तथ्य के लिए धन्यवाद होता है कि$z$ या तो बन जाता है $0$ शर्तों (PMF) की पूरी पूंछ में, या $1.$ लेकिन या तो मामले में यह यादृच्छिक चर से संबंधित नहीं है, और किसी भी जानकारी का योगदान नहीं करता है - यह एक डमी चर के बराबर है।

विशेषताएँ:

1. आप विभिन्‍न प्रकार से प्रोबिलीटी देते हैं:

$$\color{blue}{\large p_i = \left. \frac{1}{i!}\quad\frac{d^i \, G(z)}{dx^i} \right|_{z=0}=\frac{1}{i!} \;G^{(i)}\;(0)}$$

1. $G\,(1)=1$ चूंकि $$\displaystyle\sum_{i=0}^\infty p_i \; 1^i=1$$

2. पहला अंतर

$$G^{(1)}(z) =\frac{d}{dz}\mathbb E\left[z^X\right]=\mathbb E\left[X\,z^{X-1}\right]$$

1. पहले अंतर का मूल्यांकन किया गया $1$ आपको इसका मतलब देता है: $$G^{(1)}(1) =\left.\mathbb E\left[X\,z^{X-1}\right]\right|_{z=1}=\mathbb E\left[X\quad1^{X-1}\right]= \mathbb E[X].$$

2. दूसरे व्युत्पन्न का मूल्यांकन किया गया $1$ फैक्टोरियल मोमेंट है, और विचरण नहीं है, क्योंकि दूसरा शब्द चुकता नहीं है।

$$\begin{align}G^{(2)}\;(1) &=\frac{d^2}{dz^2}\; \left.\mathbb E\left[z^X\right]\right|_{z=1}\\[2ex]&=\mathbb E\left[X\;(X-1)\;z^{X-2}\right]\\[2ex]&=\mathbb E\left[X\;(X-1)\right]\\[2ex]&=\mathbb E\left [X^2-X\right ]\\[2ex]&=\mathbb E\left[X^2\right] - \mathbb E\left[X\right]\end{align}$$

1. सामान्यीकरण, तब, $i$पर व्युत्पन्न मूल्यांकन किया $1$ है $i$-वास्तविकरण का क्षण:

$$G^{(i)}\;(1)= \mathbb E\left[X\;(X-1)\;\cdots\;(X-i+1)\right]$$

1. विचरण करने के लिए,

$$\begin{align}\sigma^2 &= \mathbb E\left[X^2\right]-\mathbb E\left[X\right]^2 \\[2ex] &=G^{(2)}\;(1)+G^{(1)}\;(1)-\left[G^{(1)}\;(1)\right]^2 \end{align}$$

1. हम pgf को अलग करके और उससे गुणा करके कच्चे क्षण प्राप्त कर सकते हैं $z$:

$$\mathbb E\left[X^i\right]= \left. \left( z\;\left(\frac{d}{dz}\right)^i \; G(z)\right)\right|_{z=1}$$