पीडीई में चर के पृथक्करण से निरंतरता
मैं लागू आंशिक अंतर समीकरणों के उदाहरण के रूप में हीट समीकरण पर एक पाठ्यपुस्तक (रिचर्ड हैबरमैन चौथे संस्करण) के माध्यम से अपना काम कर रहा हूं। मैं एक पृथक्करण की अवधारणा से परिचित नहीं हूं, जो कि व्युत्पन्नताओं में बनी रहती है। मुझे माफ कर दो मैं एक तंत्रिका विज्ञान प्रमुख हूं जो एक गणित प्रमुख नहीं है।
उदाहरण के लिए, मैं अध्याय दो पर हूं, हम एक आयताकार सतह में गर्मी के प्रवाह के लिए लाप्लास समीकरण पर चर्चा कर रहे हैं। हमें यह समीकरण दिया गया है$$\frac{1}{h}\frac{\partial^2 h}{\partial x^2}=-\frac{1}{\phi}\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\lambda, $$
जहां \ lambda इस ग्रेडिएंट का आईजेन्यूअल या पृथक्करण स्थिरांक है। मैं रैखिक बीजगणित (जो मुझे अच्छी तरह से समझ में आता है) के संदर्भ में एक स्वदेशी समझ में आता है और मैं यह स्वीकार करने के लिए तैयार हूं कि कार्य असीम रूप से अनुक्रमित वैक्टर हैं, लेकिन मैं अभी भी उलझन में हूं कि मैं कैसे उस पृथक्करण को लगातार हवा से बाहर खींच सकता हूं। इस धारणा को बनाने के लिए किन परिस्थितियों को पूरा करने की आवश्यकता है?
संपादित करें: यहां मेरे पाठ में वह पृष्ठ है जिसे इससे लिया गया है, शायद प्रासंगिक जानकारी है जिसमें मैं शामिल नहीं हूं।
जवाब
विंदु यह है कि
$$f(x) = \frac{1}{h }\frac{\partial^2 h}{\partial x^2}$$
से स्वतंत्र है $y$, जबकि
$$g(y)=-\frac{1}{\phi}\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} $$
से स्वतंत्र है $x$। तो आप ऐसी स्थिति में हैं जहां
$$ f(x) = g(y), \ \ \ \text{for all }x, y.$$
यह बताता है कि $f, g$दोनों लगातार कार्य कर रहे हैं। उदाहरण के लिए, चुनें$y=0$, तब फिर $f(x) = g(0)$ सबके लिए $x$। इसलिए$f(x)$एक स्थिर कार्य है। के लिए भी ऐसा ही है$g$।
इस प्रकार $f(x) = g(y) = \lambda$।