पॉजिटिव पूर्णांकों की विषमता घनत्व है $n$ संतुष्ट करना $\gcd(n, \sigma(n^2))=\gcd(n^2, \sigma(n^2))$ शून्य के बराबर?
(यह पोस्ट इस एमएसई प्रश्न का एक हिस्सा है ।)
चलो $\sigma(x)$ के विभाजन के योग को निरूपित करते हैं $x$। ()https://oeis.org/A000203)
सवाल
पॉजिटिव पूर्णांकों की विषमता घनत्व है $n$ संतुष्ट करना $\gcd(n, \sigma(n^2))=\gcd(n^2, \sigma(n^2))$ शून्य के बराबर?
मैंने समीकरण के लिए उदाहरणों और प्रतिकृतियों की खोज करने की कोशिश की $$\gcd(n, \sigma(n^2))=\gcd(n^2, \sigma(n^2))$$सेज सेल सर्वर के माध्यम से , इसने मुझे निम्न पैरी-जीपी स्क्रिप्ट के लिए यह आउटपुट दिया :
for(x=1, 100, if(gcd(x,sigma(x^2))==gcd(x^2,sigma(x^2)),print(x)))
से सभी सकारात्मक पूर्णांक $1$ सेवा $100$ (पूर्णांक को छोड़कर $99$) संतुष्ट करते हैं $\gcd(n, \sigma(n^2))=\gcd(n^2, \sigma(n^2))$।
के पहले (काउंटर) उदाहरण को सामान्य बनाना $99$ तुच्छ है।
अगर ${3^2}\cdot{11} \parallel n$, तब फिर $11 \parallel \gcd(n,\sigma(n^2))$ तथा $11^2 \parallel \gcd(n^2,\sigma(n^2))$। तो प्रश्न में विषमता घनत्व की तुलना में कम है$$1-\frac{2}{3^3}\cdot\frac{10}{11^2} = \frac{3247}{3267} \approx 0.993878.$$
इसके अलावा यदि $3 \parallel n$, तो संभावना के साथ $1$ वहाँ दो अलग-अलग primes मौजूद हैं $y$ तथा $z$ के लिए बधाई $1$ modulo $3$ ऐसा है कि $y \parallel n$ तथा $z \parallel n$। इस मामले में, हम प्राप्त करते हैं$3 \parallel \gcd(n,\sigma(n^2))$ तथा $3^2 \parallel \gcd(n^2,\sigma(n^2))$। तो प्रश्न में विषमता घनत्व की तुलना में कम है$$1-\frac{2}{3^2} = \frac{7}{9} \approx 0.\overline{777}.$$
वास्तविक खुली समस्या यह है कि क्या विषमता घनत्व है $0$।
जवाब
मुझे लगता है कि घनत्व शून्य पर जाता है, लेकिन काफी धीरे-धीरे। अगर$p \equiv 1 \bmod 6$ मुख्य है तो दो समाधान हैं $0<r<s<p-1$ का $$x^2+x+1=0 \bmod p$$
अगर $p\parallel n$ फिर, संभावना के साथ $1,$ दो अलग-अलग नियम हैं $x $ तथा $ y,$ प्रत्येक को बधाई $r \bmod p,$ साथ से $x \parallel n$ तथा $y \parallel n.$ (या तो या दोनों के लिए बधाई हो सकती है $s$ भी।)
फिर $p \parallel \gcd(n,\sigma(n^2))$ जबकि $p^2 \parallel \gcd(n^2,\sigma(n^2)).$ तो ऐसा न होने के लिए विषमता घनत्व है $1-\frac{p-1}{p^2}<1-\frac{1}{p+2}$
अगर हम यह तर्क दे सकते हैं कि इन घटनाओं में से कोई भी घटना समान रूप से नहीं है $\prod(1-\frac{p-1}{p^2})$ से अधिक primesuent करने के लिए $1 \bmod 6,$ फिर वह विषमता घनत्व है $0.$