पोलिनोमियल रिंग का जैकबसन रेडिकल
परिभाषा: चलो$M$ सेम $R$मापांक। तब के जैकबसन कट्टरपंथी$M$ द्वारा निरूपित किया जाता है $J_R(M)$ और सभी मैक्सिमल सबमॉडल्स के प्रतिच्छेदन के रूप में परिभाषित किया गया है $M$। अगर$M$ तब कोई अधिकतम सबमॉड्यूल नहीं है $J_R(M)=M$।
लश्कर $R$ एक स्मारक अंगूठी और $S=R[x]$बहुपद अंगूठी हो। हम जानते हैं कि जैकबसन कट्टरपंथी हैं$S$ है $Nil(R)[x]$ कब $S$ के रूप में लिया जाता है $S$मापांक। अर्थात$J_S(S)=Nil(R)[x]$।
मेरा सवाल: क्या जैकबसन का कट्टरपंथी होगा$S$ कब $S$ के रूप में लिया जाता है $R$मापांक? अर्थात$J_R(S)=?$
क्रिप्या मेरि सहायता करे। मैं आपका बहुत आभारी रहूंगा।
जवाब
पहले ध्यान दें $S\cong\bigoplus_{n\in\Bbb N}R$ जैसा $R$-मापांक। इसके अलावा, जैकबसन कट्टरपंथी प्रत्यक्ष रकम को संरक्षित करता है, इसलिए$$J_R(S)\cong\bigoplus_{n\in\Bbb N}J_R(R)$$ यह गुणांक के साथ बहुपद के सबमॉड्यूल में है $J_R(R)$।
यह साबित करने के लिए कि जैकबसन कट्टरपंथी मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग के साथ, पहले ध्यान दें कि हर $R$-मॉडल होमोओर्फिज्म $\varphi:M\to N$ एमएपीएस $J_R(M)$ जांच $J_R(N)$। इसे विहित अनुमानों पर लागू करना$\bigoplus_iM_i\to M_i$ देता है $J_R(\bigoplus_iM_i)\subseteq\bigoplus_iJ_R(M_i)$। इसी तरह, विहित निष्कर्षों पर विचार करके$M_i\to\bigoplus_iM_i$ हमें उलटा समावेश मिलता है $J_R(\bigoplus_iM_i)\supseteq\bigoplus_iJ_R(M_i)$।