प्रक्षेपण का उपयोग करके ब्राउनियन गति की सशर्त अपेक्षा

Question

मान लो की $W_s,W_t$ मानक ब्राउनियन गतियों के साथ हैं $s<t$। निम्नलिखित ढूंढे$$E[W_s | W_t]=? $$संकेत प्रक्षेपण विधि का उपयोग करना है। अगर मैं सही तरीके से समझूं, तो हमारे पास प्रक्षेपण द्वारा निम्नलिखित संपत्ति है$$E[W_sZ]=E[YZ] $$ के लिये $Y=E[W_s|W_t]$ तथा $Z$ कुछ यादृच्छिक चर है जो एक ही निस्पंदन के तहत औसत दर्जे का है जो उत्पन्न करता है $W_t$। इस संपत्ति का उपयोग कैसे करें और आगे बढ़ें? किसी भी संकेत की सराहना की जाती है।

पुनश्च मैं यहां दिए गए समाधान को नहीं समझता हूं और प्रक्षेपण विधि (यदि संभव हो तो) का उपयोग करके समझना पसंद करेंगे।

Answer 1

मुख्य विचार यह है कि हम इसका अनुमान लगाने जा रहे हैं $Y=\mathbb{E}[W_s | W_t] = \beta W_t$ कहाँ पे $\beta$ एक (गैर-यादृच्छिक) स्थिरांक है जो केवल पर निर्भर करता है $s$ तथा $t$। फिर प्रक्षेपण विधि हमें बताती है (दे रही है$Z = W_t$) उस

\begin{align*} \mathbb{E}[W_s W_t] &= \mathbb{E}[Y W_t] \\ &= \beta \mathbb{E}[W_t^2]. \end{align*}

अब हम जानते हैं $\mathbb{E}[W_s W_t] = s$ तथा $\mathbb{E}[W_t^2]=t$, इसलिए समीकरण को सरल बनाता है $s = \beta t$ और इसलिए $\beta = \frac st$। इसलिए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं$\mathbb{E}[W_s | W_t] = \beta W_t = \frac st W_t$।