प्रिज्म व्युत्पत्ति का आयतन

Question

मैं सोच रहा था कि क्या कोई तरीका है कि मैं किसी प्रिज्म के आयतन के फॉर्मूले को कैसे सही ठहराऊँ।

किसी दिए गए प्रिज्म के लिए, इसकी मात्रा प्रिज्म की लंबाई से गुणा के क्रॉस सेक्शन के क्षेत्र द्वारा दी जाती है।

मैं इसे सहज रूप से देखता हूं क्योंकि प्रिज्म की कल्पना की जा सकती है कि इसकी लंबाई भर में क्रॉस-सेक्शन के कई छोटे स्लाइस असीम रूप से बनाए जा सकते हैं।

हालाँकि, मैं सोच रहा हूँ कि क्या इसको औपचारिक बनाने का कोई तरीका है?

इसके अलावा, एक सिलेंडर को प्रिज्म नहीं कहा जाता है । हालाँकि, इसकी मात्रा के लिए सूत्र ($\pi r^2 \times h$) लंबाई द्वारा गुणा किए गए क्रॉस सेक्शन का समान क्षेत्र है। इस के लिए कोई कारण है?

Answer 1

1. पक्षों के साथ एक बॉक्स की मात्रा को खुद को समझाना $a,b,c$ है $abc$।
2. फिर, आकार का एक वर्ग होने के बारे में सोचें $1$ और क्षेत्र $1 \cdot 1$ इसे ऊंचाई पर फैलाकर एक बॉक्स में बदल दें $h$। परिणामी बॉक्स में वॉल्यूम होना चाहिए$1\cdot 1 \cdot h$, ऊपर (1) का उपयोग कर।
3. अब प्रिज्म के आधार को फिट करने के लिए मूल वर्ग को बदलने के बारे में सोचें। आपको इस तरह से स्केल करना होगा कि परिणामी क्षेत्र बन जाए$A$, जो आधार का क्षेत्र है। के एक कारक द्वारा यह तराजू$A$, और इसलिए परिणामी आयतन को समान कारक द्वारा मापना चाहिए, क्योंकि ऊंचाई समान रखी जाती है। तो अंतिम मात्रा है$A\cdot h$।