रंगीन बहुपद के परिवर्तन को शामिल करने वाली सीमा पर
मैं रंगीन बहुपद के साथ खेल रहा था $\chi_G(x)$) और मैंने निम्नलिखित अनुमान लगाया है।
लश्कर $(G_n)_{n \ge 1}$ के साथ रेखांकन का एक क्रम हो $v(G_n) \to \infty$ ()$v(G_n)$ के कोने की संख्या को दर्शाता है $G_n$) तथा $e(G_n) \to \infty$ ()$e(G_n)$ के किनारों की संख्या को दर्शाता है $G_n$) का है।
प्रत्येक के लिए $x \neq 0$आइए हम गुणात्मक बहुपद के निम्नलिखित परिवर्तनों को परिभाषित करें $G_n$ $$ \psi_{G_n}(x) = \frac{x^{v(G_n)}}{e(G_n)^{v(G_n)}} \chi_{G_n}\left( \frac{e(G_n)}{x} \right). $$
अनुमान यह है कि प्रत्येक निश्चित वास्तविक संख्या के लिए $x \neq 0$, अपने पास $\psi_{G_n}(x) \to \exp(-x)$ जैसा $n$ अनंत तक जाता है।
मैंने रेखांकन के कुछ दृश्यों के लिए अनुमान की जाँच की है: उदाहरण के लिए, $G_n$ पूरा ग्राफ है $K_n$, के लिये $G_n$ एक पेड़ हो रहा है $n$ कोने और के लिए $G_n$ का संग्रह होने के नाते $n$ स्वतंत्र किनारों (एक मिलान पर) $2n$ कोने)।
क्या किसी को पता है कि यह अच्छी तरह से जाना जाता है?
पुनश्च: मुझे यकीन नहीं है अगर शर्तों पर $v(G_n)$ तथा $e(G_n)$सही हैं। इस पर किसी भी टिप्पणी का स्वागत है।
जवाब
यहाँ एक ऐसा तर्क है जो शायद कोई कठोर बना सकता है। मैं लिखता हूँ$v_n=v(G_n)$ तथा $e_n=e(G_n)$। लश्कर$$ \chi_{G_n}(x) = x^{v_n}-c_{n,v_n-1} x^{v_n-1}+c_{n,v_n-2}x^{v_n-2}-\cdots. $$ मुझे लगता है कि तय के लिए दावा करते हैं $k\geq 0$, $$ \lim_{n\to\infty} \frac{c_{n,v_n-k}}{e_n^k} = \frac{1}{k!}. $$ उदाहरण के लिए, ब्रोकन सर्किट प्रमेय द्वारा (जिसे दिखाया गया है) यह देखते हुए कि कोई भी इसे साबित कर सकता है $c_{n,v_n-k}$ जब हम अधिक किनारों को जोड़ते हैं तो यह बढ़ जाता है $G_n$) $c_{n,v_n-k}$ जब इसके मूल्य से नीचे आबद्ध किया जाता है $G_n$ एक पेड़ है, और जब इसके मूल्य से ऊपर बंधा होता है $G_n$एक पूरा ग्राफ है। दावा किए गए परिणाम को पेड़ों और पूर्ण रेखांकन के लिए आसानी से सत्यापित किया गया है (बाद वाले मामले में, पहली तरह की स्टर्लिंग संख्या के लिए ज्ञात एसिम्पोटिक्स का उपयोग करके)। शायद एक अधिक प्रत्यक्ष प्रमाण है, लेकिन किसी भी मामले में, अगर हम इंटरचेंजिंग सीमाओं और रकम को सही ठहराने के बारे में चिंता नहीं करते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं$$ \lim_{n\to\infty} \frac{x^{v_n}}{e_n^{v_n}}\chi_{G_n}\left( \frac{e_n}{x}\right) = \sum_{k\geq 0} \lim_{n\to\infty} \frac{(-1)^k c_{n,v_n-k}x^k}{e_n^k} $$ $$ \qquad = \sum_{k\geq 0} \frac{(-1)^k x^k}{k!} = \exp(-x). $$