सबसे बड़े और सबसे छोटे सर्कल के समरूपता के केंद्र को दिखाने के लिए टी पर आम स्पर्शरेखा में स्थित है
$c_1$ पर केंद्रित है $A$ के माध्यम से गुजरते हुए $B$।
$BB′$ का व्यास है $c_1$।
$T$ खंड में एक यादृच्छिक बिंदु $BB′$।
$c_2$ पर केंद्रित है $B′$ के माध्यम से गुजरते हुए $T$।
$c_3$ पर केंद्रित है $B$ के माध्यम से गुजरते हुए $T$।
$c_4$ बाहरी रूप से स्पर्शरेखा $c_2$ तथा $c_3$ और आंतरिक रूप से स्पर्शरेखा है $c_1$
$F$ का केंद्र है $c_4$ तथा $H,I$ स्पर्शरेखा बिंदु हैं।
यह मेरे लिए स्पष्ट है $Z = HI \cap AF$ का दूसरा समरूप केंद्र है $c_1$ तथा $c_4$ और मैं यह साबित करना चाहूंगा कि यह उस रेखा में भी स्थित है $AB$ के माध्यम से $T$।
महत्वपूर्ण संबंधित परिणाम जो आपको शायद पता होना चाहिए: इन तीन मंडलियों को अपनी बाहरी सामान्य स्पर्शरेखा रेखाओं को साझा करें
यह खट्टा हलकों के बारे में एक सामान्य परिणाम लगता है
जवाब
पर आम स्पर्श करते हैं $T$ मिलना $AF$ पर $Y$ और सीधा होने दो $AB$ के माध्यम से $F$ मिलना $AB$ पर $L$।
फिर हम गणना करते हैं$y=LT$ पाइथागोरस प्रमेय द्वारा: $$ B'F^2-B'L^2 = LF^2 =BF^2-BL^2$$ इसलिए $$ (b+c)^2-(b-y)^2 = (2a+b+c)^2-(2a+b+y)^2$$ और इसलिए हम प्राप्त करते हैं $$y= {ac\over a+b}$$ इसलिए $${AY\over FY} = {AT\over LT} = {a\over y} = {a+b\over c}$$
दूसरी ओर चलो $X$ में हो $HI\cap AF$।
homothety$H_1$ पर $H$ और गुणांक ${b\over c}$ लेता है $F$ सेवा $B'$ और सजातीय $H_2$ पर $G$ और गुणांक ${a+b\over b}$ लेता है $B'$ सेवा $A$, तो रचना $H_2\circ H_1$ लेता है $F$ सेवा $A$ और केंद्र में है $FA\cap GH =X$। इस रचना में गुणांक है$${a+b\over b}\cdot {b\over c} = {a+b\over c}$$ इसलिए $X$ विभाजित $AF$ उसी अनुपात में $Y$ और इस तरह $X=Y$ और हम कर रहे हैं
एक्वा के उत्तर में तर्क निम्नानुसार छोटा किया जा सकता है। हम समान बिंदु नामों का उपयोग करते हैं, लेकिन यहां$a,b,c$ सर्कल की त्रिज्या पर केंद्रित हैं $A,B',F$ क्रमशः (यह का अर्थ बदल जाता है $a$)। लश्कर$LT:TA$ होना $x$।
जैसा कि यिउ के त्रिभुज ज्यामिति, पृष्ठ 2 , आंतरिक समरूप केंद्र में वर्णित है$X$ (दो चक्रों का उर्फ आंतरिक केंद्र) $O(R),I(r)$ खंड को विभाजित करता है $OI$ अनुपात में $R:r$। इस प्रकार का आंतरिक समरूप बिंदु$F(c),A(a)$ विभाजित $FA$ अनुपात में $c:a$।
पाइथोगोरस का प्रमेय के रूप में उपयोग करते हुए एक्वा के जवाब पर हम पाते हैं
$$ (b+c)^2-(b-x(a-b))^2=(2a=b+c)^2-(2a-b+x(a-b))^2 $$
के लिए हल $x$( अगर हम आलसी हैं तो एक ऑनलाइन सॉल्वर का उपयोग करके ) हमें मिलता है$x=\dfrac{c}{a}$। इस प्रकार
$$ FY:YA = LT:TA = x = c:a, $$
इसलिए $Y$ का आंतरिक समरूप केंद्र है $c_1,c_4$।