सभी कार्यों को कैसे खोजें $f:\mathbb R\to\mathbb R$ ऐसा है कि $\forall a,b\in\mathbb R$: $f(a)+f\big(a+f(b)\big)=b+f\big(f(a)+f^2(b)\big)$ [डुप्लीकेट]
सभी कार्यों का पता लगाएं $ f : \mathbb R \to \mathbb R $ ऐसे सभी के लिए $ a , b \in \mathbb R$: $$ f ( a ) + f \big( a + f ( b ) \big) = b + f \big( f ( a ) + f ^ 2 ( b ) \big) \text . $$
यहाँ, किसी के लिए $ n \in \mathbb N $, $ f ^ n $ निरूपित करता है $ n $की पुनरावृति $ f $।
मेरे विचार अब तक:
मैंने प्रतिस्थापित किया $ ( 0 , x ) $ पैदावार: $$ f ( 0 ) + f ^ 2 ( x ) = x + f \big( f ( 0 ) + f ^ 2 ( x ) \big) \text . \tag 1 \label 1 $$
चलिए बताते हैं $ a , b \in \mathbb R $, $ a \ne b $ तथा $ f ( a ) = f ( b ) $। तब LHS के साथ मान नहीं बदलता है$ a , b $लेकिन आरएचएस करता है। यह एक विरोधाभास है और इस प्रकार है$ f ( a ) = f ( b ) \implies a = b $। फ़ंक्शन इसलिए इंजेक्शन है।
अगर हम स्थानापन्न करते हैं $ \big( x , f ( x ) \big) $ हम इस तरह के कार्यों को पार कर सकते हैं: $$ f \big( x + f ^ 2 ( x ) \big) = f \big( f ( x ) + f ^ 3 ( x ) \big) \text ; $$ $$ \therefore \quad x + f ^ 2 ( x ) = f ( x ) + f ^ 3 ( x ) \text . \tag 2 \label 2 $$
अगर हम मान लें $ f ( 0 ) = 0 $, अपने पास $ f ^ 2 ( x ) = x + f ^ 3 ( x ) $।
\ Eqref {2} का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं$ f ( x ) = 2 x $। हालांकि, यह कार्यात्मक समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है और इस प्रकार हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं$ f ( 0 ) \ne 0 $।
मैंने यह भी देखा कि यदि आप स्थानापन्न हैं $ f ( x ) $ के लिये $ x $, आपको मिला $ f ( x ) + f ^ 3 ( x ) =f ^ 2 ( x ) + f ^ 4 ( x ) $ और व्यक्त करना $ f ^ 3 ( x ) $ \ eqref {2} से हमें एक परिणाम प्राप्त होता है: $ f ^ 4 ( x ) = x $ जिसका अर्थ है कि कार्य चक्र के साथ पुनरावृत्त है $ 4 $ (या $ 2 $ या $ 1 $) का है।
मुझे यकीन नहीं है कि कैसे जारी रखना चाहिए या मुझे किस प्रतिस्थापन की कोशिश करनी चाहिए।
जवाब
आप दिखा सकते हैं कि कोई फ़ंक्शन नहीं है $ f : \mathbb A \to \mathbb A $ संतोषजनक $$ f ( x ) + f \big( x + f ( y ) \big) = y + f \Big( f ( x ) + f \big( f ( y ) \big) \Big) \tag 0 \label 0 $$ सबके लिए $ x , y \in \mathbb A $, कहां है $ ( \mathbb A , + ) $तटस्थ तत्व के साथ कोई भी एबेलियन समूह है $ 0 $और उलटा कार्य करता है $ - $, ऐसा है $ b \in \mathbb A $ साथ से $ 5 b \ne 0 $। जैसा कि आप में रुचि रखते हैं$ \mathbb A = \mathbb R $समूह संचालन के साथ $ + $ वास्तविक संख्याओं के सामान्य जोड़ के रूप में लिया जाता है, यह मामला होगा, क्योंकि किसी भी गैर-वास्तविक संख्या को चुना जा सकता है $ b $।
इसे देखने के लिए, विकल्प $ f ( x ) $ के लिये $ x $, और देखते हैं कि $$ f \big( f ( x ) \big) - y = f \Big( f \big( f ( x ) \big) + f \big( f ( y ) \big) \Big) - f \big( f ( x ) + f ( y ) \big) \\ = f \Big( f \big( f ( y ) \big) + f \big( f ( x ) \big) \Big) - f \big( f ( y ) + f ( x ) \big) = f \big( f ( y ) \big) - x \text , $$ जो विशेष रूप से दिखाता है $$ f \big( f ( x ) \big) = f \big( f ( 0 ) \big) - x \text . \tag 1 \label{1a} $$ लगाना $ x = 0 $ \ eqref {0} में और \ eqref {1a} का उपयोग करने पर आपके पास है $$ f ( 0 ) + f \big( f ( 0 ) \big) - y = y + f \Big( f ( 0 ) + f \big( f ( 0 ) \big) - y \Big) \text , $$ जो देकर $ a = f ( 0 ) + f \big( f ( 0 ) \big) $ और प्रतिस्थापन $ - x + a $ के लिये $ y $ पता चलता है कि $$ f ( x ) = 2 x - a \text . \tag 2 \label{2a} $$ \ Eqref {1a} और \ eqref {2a} का उपयोग करके आपको मिलता है $ 5 x = 0 $ सबके लिए $ x \in \mathbb A $, और विशेष रूप से के लिए $ x = b $, जो एक विरोधाभास है।
हर मामले में $ b \in \mathbb A $की है आदेश $ 5 $, किसी भी का चयन $ a \in \mathbb A $ और ले रहा है $ f $ फॉर्म \ eqref {2a} का हो, समीकरण \ eqref {0} सभी के लिए संतुष्ट होगा $ x , y \in \mathbb A $। इसे देखने के लिए, \ eqref {2a} को \ eqref {0} के रूप में पुनः लिखने के लिए उपयोग करें$$ 2 x - a + 2 ( x + 2 y - a ) - a = y + 2 \big( 2 x - a + 2 ( 2 y - a ) - a \big) - a \text , $$ या समकक्ष $$ 4 x + 4 y - 4 a = 4 x + 9 y - 9 a \text , $$ जो तब से सच है $ 5 y = 0 $ तथा $ 5 a = 0 $। जैसा कि व्युत्पन्न \ eqref {2a} के परिणामस्वरूप किसी भी एबेलियन समूह के लिए मान्य थे (इसके चुनावों के आदेश से स्वतंत्र), हमने इस मामले में सभी समाधानों की विशेषता बताई है। एबेलियन समूहों के उदाहरण जिनमें हर तत्व का क्रम है$ 5 $कर रहे हैं तुच्छ समूहों , चक्रीय समूह $ \mathbb Z _ 5 $और प्रत्यक्ष उत्पाद की$ \mathbb Z _ 5 $ खुद के साथ।