साबित कर दिया $\int_{-\pi}^\pi F_n(y) \, dy=1$

Question

साबित कर दिया $\int_{-\pi}^\pi F_n(y)\,dy=1$, साथ से $$F_n(y)=\frac{1}{2\pi (n+1)}\frac{\sin^2 \left( \frac{(n+1)y}{2} \right)}{\sin^2(\frac{y}{2})}$$

मैंने इसी तरह के सवाल की कोशिश की, लेकिन मैंने समारोह की एक सीरी दी थी। इस बार मुझे नहीं पता कि क्या कोई सीरी है जो मेरी मदद कर सकती है। मैंने इसे सीरी के बिना आज़माया:

\begin{align} \int_{-\pi}^{\pi}F_n(y) \, dy &= \int_{-\pi}^\pi \frac{1}{2\pi (n+1)} \frac{\sin^2\left(\frac{(n+1)y}{2}\right)}{\sin^2(\frac{y}{2})} \, dy\\ &=\int_{-\pi}^\pi \frac{1}{2\pi (n+1)}\frac{(e^{\frac{i(n+1)y}{2}}-e^{\frac{-i(n+1)y}{2}})^2}{(e^\frac{iy}{2}-e^\frac{-iy}{2})^2} \, dy\\ &=\int_{-\pi}^\pi \frac{1}{2\pi (n+1)}\frac{(e^{i(n+1)y}+e^{-i(n+1)y}-2)}{(e^{iy}+e^{-iy}-2)} \, dy \end{align}

लेकिन अब मैं फिर से फंस गया हूं। मुझे लगता है कि इसे साबित करने का एक आसान तरीका होना चाहिए। क्या कोई मेरी मदद कर सकता है?

Answer 1

आपके पास

$$F_n(x) = \frac{2\pi}{n+1}D_n^2(x)=\frac{1}{2\pi (n+1)}\left(\sum_{k=-n}^n e^{ikx} \right)^2= \frac{1}{2\pi (n+1)}\frac{\sin^2 \left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}{\sin^2 \left(\frac{x}{2}\right)}.$$

जिसमें से स्विच करके आता है $\int$ तथा $\sum$ समानताएं

$$\begin{aligned}\int_{-\pi}^{\pi}F_n(x) \ dx&= \frac{1}{2\pi (n+1)}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\sum_{k=-n}^n e^{ikx}\right)^2 \ dx\\ &= \frac{1}{2\pi (n+1)}\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{k=-n}^n \sum_{l=-n}^ne^{i(k+l)x}\ dx\\ &= \frac{1}{2\pi (n+1)}\sum_{k=-n}^n \sum_{l=-n}^n \int_{-\pi}^{\pi}e^{i(k+l)x}\ dx\\ &=1 \end{aligned}$$

दोहरे योग के रूप में, केवल गैर लुप्त शब्द हैं $k=-l$ और वहाँ है $n+1$ इस तरह की शर्तें।

Answer 2

संकेत: चलो$$D_n(x)= \sum_{k=-n}^n e^{ikx},$$ और जाने $$F_N(x) = \sum_{n=0}^{N-1} D_n(x).$$ साबित करो $$ F_N(x) = \frac{1}{N}\frac{\sin^2 (Nx/2)}{\sin^2 (x/2)}.$$

$D_n$ डिरिचलेट कर्नेल के रूप में जाना जाता है और $F_N$ Fejér कर्नेल के रूप में जाना जाता है।

Answer 3

यहाँ श्रृंखला का सहारा लिए बिना एकीकृत करना है

\begin{align} \int_{-\pi}^{\pi}F_{n}(y)dy & = \frac1{\pi(n+1)}\int_{0}^{\pi} \frac{\sin^{2}\frac{(n+1)y}{2}}{\sin^{2}\frac{y}{2}}dy\\ & = \frac1{\pi(n+1)}\int_{0}^{\pi} \frac{ \cos(n+1)y-1}{\cos y-1} dy \\ & = \frac1{\pi(n+1)}\cdot \lim_{a\to 0}\int_{0}^{\pi} \frac{ \cos(n+1)y-\cos(n+1)a}{\cos y-\cos a} dy\\ & = \frac1{\pi(n+1)}\cdot \lim_{a\to 0}\frac{\pi\sin(n+1)a}{\sin a}\\ &=1 \end{align} जहां परिणाम $$\int_{0}^{\pi}{\frac{\cos(nx)-\cos(na)}{\cos x-\cos a}}dx = \frac{\pi \sin(na )}{\sin a}$$पैरामीट्रिक त्रिकोणमितीय अभिन्न में व्युत्पन्न$\int_{0}^{\pi}{\frac{\cos(nx)-\cos(na)}{\cos x-\cos a}}dx$ प्रयोग किया जाता है।