साबित करना $(V_1 \cap V_2)^{\perp_L} = V_1^{\perp_L} + V_2^{\perp_L}$ अगर $f$ गैर पतित है

Aug 15 2020

लश्कर $f(\alpha, \beta)$ एक बिलिनियर फॉर्म हो $n$- आयामी रैखिक स्थान $V$ संख्या क्षेत्र पर $F$। साबित करो, अगर$f(\alpha, \beta)$ किसी भी उप-स्थान के लिए गैर-अध: पतन है $V_1$ तथा $V_2$ का $V$, फिर \begin{align*} & (V_1 \cap V_2)^{\perp_L} = V_1^{\perp_L} + V_2^{\perp_L}, \\ & (V_1 \cap V_2)^{\perp_R} = V_1^{\perp_R} + V_2^{\perp_R}. \end{align*} जहां किसी भी उप-क्षेत्र के लिए $W$ का $V$, छोड़ दिया ओर्थोगोनल समूह $W^{\perp_L}$और सही ओर्थोगोनल समूह $W^{\perp_R}$ द्वारा परिभाषित किया गया है \begin{align*} & W^{\perp_L} = \{\alpha \in V: f(\alpha, \beta) = 0, \forall \beta \in W\}, \\ & W^{\perp_R} = \{\beta \in V: f(\alpha, \beta) = 0, \forall \alpha \in W\}. \end{align*}

परिभाषा के अनुसार, मैं इस दिशा में, गैर-अध: पतन दिखाने में सक्षम हूं $f$ की जरूरत नहीं है) $V_1^{\perp_L} + V_2^{\perp_L} \subseteq (V_1 \cap V_2)^{\perp_L}$। मैं दूसरी दिशा पर बहुत विचार नहीं करता, विशेष रूप से, कैसे गैर अध: पतन$f$ लागू किया जाना चाहिए?

जवाब

Zhanxiong Aug 16 2020 at 02:17

$\newcommand{\lbot}{\perp_L}$ $\newcommand{\rbot}{\perp_R}$

हम पहले परिभाषा से साबित करते हैं कि \begin{align*} & (V_1 + V_2)^{\lbot} = V_1^{\lbot} \cap V_2^{\lbot}; \tag{1} \\ & (V_1 + V_2)^{\rbot} = V_1^{\rbot} \cap V_2^{\rbot}. \tag{2} \end{align*} लश्कर $\alpha \in (V_1 + V_2)^{\lbot}$, फिर किसी के लिए $\beta_1 \in V_1, \beta_2 \in V_2$, हमारे पास है \begin{align*} & f(\alpha, \beta_1 + \beta_2) = f(\alpha, \beta_1) + f(\alpha, \beta_2) = 0, \\ & f(\alpha, \beta_1 - \beta_2) = f(\alpha, \beta_1) - f(\alpha, \beta_2) = 0. \end{align*}

इसलिये $f(\alpha, \beta_1) = f(\alpha, \beta_2) = 0$, अर्थात, $\alpha \in V_1^{\lbot} \cap V_2^{\lbot}$। इसके विपरीत, यदि$\alpha \in V_1^{\lbot} \cap V_2^{\lbot}$, फिर किसी के लिए $\beta = \beta_1 + \beta_2 \in V_1 + V_2$, कहाँ पे $\beta_1 \in V_1, \beta_2 \in V_2$, हमारे पास है $$f(\alpha, \beta_1 + \beta_2) = f(\alpha, \beta_1) + f(\alpha, \beta_2) = 0 + 0 = 0,$$ अर्थात, $\alpha \in (V_1 + V_2)^{\lbot}$। दूसरी समानता भी इसी तरह साबित हो सकती है।

अगर $f(\alpha, \beta)$ गैर-पतित है, हम दिखाते हैं कि किसी भी उपवर्ग के लिए $W$ का $V$, $W = (W^{\lbot})^{\rbot}$। परिभाषा से,$W \subset (W^{\lbot})^{\rbot}$। दूसरी दिशा दिखाने के लिए, इसे दिखाया जा सकता है$f$ गैर-पतित है जो किसी भी उप-क्षेत्र के लिए है $W$, $$\dim(W^{\lbot}) = \dim(W^{\rbot}) = \dim(V) - \dim(W).$$

यह तो उस के बाद \begin{align*} \dim((W^{\lbot})^{\rbot}) = \dim(V) - \dim(W^{\lbot}) = \dim(V) - (\dim(V) - \dim(W)) = \dim(W). \tag{*} \end{align*} यह समानता और $W \subset (W^{\lbot})^{\rbot}$ मतलब है कि $W = (W^{\lbot})^{\rbot}$। इसी तरह,$W = (W^{\rbot})^{\lbot}$

अब द्वारा $(1)$ तथा $(2)$, हमारे पास है \begin{align*} (V_1 \cap V_2)^{\lbot} = ((V_1^{\lbot})^{\rbot} \cap (V_2^{\lbot})^{\rbot})^{\lbot} = ((V_1^{\lbot} + V_2^{\lbot})^{\rbot})^{\lbot} = V_1^{\lbot} + V_2^{\lbot}. \end{align*} इससे प्रमाण पूरा हो जाता है।

(समानता $(*)$ के बीच एक मानचित्र का निर्माण करके स्थापित किया जा सकता है $W^{\lbot}$ पहले के समाधान स्थान के लिए $\dim(W)$ मैट्रिक्स के कॉलम $(f(\alpha_i, \alpha_j))$।)