साबित करो कि अगर $a+b$ एक अपरिमेय संख्या है, तो कम से कम एक की $a$ या $b$ तर्कहीन है।
मुझे एक किताब में यह सवाल आया। मैंने निम्नलिखित के रूप में स्थिति को साबित करने की कोशिश की: मान लीजिए कि ए और बी तर्कसंगत हैं। स्पष्ट रूप से का योग$a$ तथा $b$ तर्कसंगत है, जो इस स्थिति का खंडन करता है, जो कि है $a+b$तर्कहीन है। इसलिए कम से कम एक या एक बी तर्कहीन है।
मुझे लग रहा है कि कुछ तो है। मुझे लगता है कि यहां गर्भनिरोधक प्रमाण का उपयोग करना बेहतर हो सकता है लेकिन मुझे यकीन नहीं है क्योंकि मैं सबूतों की दुनिया में नया हूं।
जवाब
जिस कथन को आप सिद्ध करने का प्रयास कर रहे हैं वह है $\forall a,b\, (a+b\notin \Bbb{Q} \implies a\notin \Bbb{Q} \text{ or } b \notin \Bbb{Q})$। यह केवल कथन का प्रतीकात्मक अनुवाद है "हर के लिए$a,b$, अगर $a+b$ तर्कहीन है तो कम से कम एक $a$ या $b$ तर्कहीन है ”।
यहाँ, बयान $X$ है "$a+b\notin \Bbb{Q}$”, और कथन $Y$ है "$a\notin \Bbb{Q} \text{ or } b \notin \Bbb{Q}$"तो, गर्भनिरोधक" हर के लिए $a,b$ ()$X \implies Y$) "" हर के लिए है $a,b$ $(\neg Y \implies \neg X)$", जो इस मामले में है:
हर एक के लिए $a,b$ अपने पास ($a\in \Bbb{Q}$ तथा $b\in \Bbb{Q} \implies a+b \in \Bbb{Q}$)
और यह आपने तर्क दिया है।
मैं आपके "मैं यह नहीं देखता कि गर्भनिरोधक यहाँ कैसे काम करता है" टिप्पणी करना चाहते हैं।
लश्कर $\mathbb{I} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ (अपरिमेय संख्याओं का समूह)।
आप वह दिखाना चाहते हैं
$$ a+b \in \mathbb{I} \implies a \in \mathbb{I} \vee b \in \mathbb{I}$$
गर्भनिरोधक पर स्विच करने से पहले, उस पर ध्यान दें $a \in \mathbb{R}$ $$ \lnot (a \in \mathbb{I}) \Leftrightarrow a \in (\mathbb{R} \setminus \mathbb{I}) \Leftrightarrow a \in \mathbb{Q}$$
अब, गर्भनिरोधक बन जाता है
$$ \lnot (a \in \mathbb{I} \vee b \in \mathbb{I}) \implies \lnot (a+b \in \mathbb{I})$$ जो, ऊपर के अवलोकन के प्रकाश में है $$ a \in \mathbb{Q} \land b \in \mathbb{Q} \implies a+b \in \mathbb{Q}$$
की एक परिभाषित संपत्ति है $\mathbb{Q}$।
वह भी याद रखो $\lnot (P \vee Q) = (\lnot P) \land (\lnot Q)$।